每日一题[442]二进制

2011年高考数学湖南理科第16题(填空压轴题):

对于 \(n\in \mathcal N^*\),将 \(n\) 表示为 \[n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+\cdots+a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0,\]当 \(i=0\) 时,\(a_i=1\);当 \(1\leqslant i\leqslant k\) 时,\(a_i\) 为 \(0\) 或 \(1\).记 \(I(n)\) 为上述表示式中 \(a_i\) 为 \(0\) 的个数(例如\(1=1\times 2^0\),\(4=1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0\),故 \(I(1)=0\),\(I(4)=2\)),则

(1)\(I(12)=\)____;

(2)\(\sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=\)____.


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答案 (1)\(2\);(2)\(1093\).

分析 题中相当于写出了 \(n\) 的二进制表示,即$$n=\left(a_0a_1a_2\cdots a_k\right )_2.$$对于任意一个数,这种表示存在且唯一,比如正整数$1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots$依次表示成二进制数为$$(1)_2,(10)_2,(11)_2,(100)_2,(101)_2,(110)_2,(111)_2,(1000)_2,\cdots.$$即“逢二进一”,从这个角度去思考第二问中$I(n)$的规律就比较容易入手了.

 (1)因为 \[12=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0,\]故 \(I(12)=2\).

(2)在二进制的 \(k(k\geqslant 2)\) 位数中,首位为$1$,之后的$k-1$位每个数位中的数都可能为$0$或$1$,所以$k$位数共有$2^{k-1}$个,其中没有 \(0\) 的有 \(\mathrm C_{k-1}^0\) 个,有\(1\) 个 \(0\) 的有 \(\mathrm C_{k-1}^1\) 个,有\(2\) 个 \(0\) 的有 \(\mathrm C_{k-1}^2\) 个,\(\cdots\),有\(m\) 个 \(0\) 的有 \(\mathrm C_{k-1}^m\) 个,\(\cdots\),故对所有二进制为 \(k\) 位数的数 \(n\),贡献的$2^{I(n)}$的和为\[\begin{split} &\mathrm C_{k-1}^0\times 2^0+\mathrm C_{k-1}^1 \times 2^1+\mathrm C_{k-1}^2 \times 2^2+\cdots+\mathrm C_{k-1}^{k-1} \times 2^{k-1}\\=&(1+2)^{k-1}\\=&3^{k-1}.\end{split}\]注意到 \[127=2^7-1=(1111111)_7,\]恰好为二进制中的最大的 \(7\) 位数,所以\[\sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=\sum \limits_{k=1}^7{3^{k-1}}=1093.\]

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