[易错题汇编](三)三角篇

一、三角函数的图象与性质相关问题

(1)要得到函数$y=\sqrt 2\cos x$的图象,只需要将函数$y=\sqrt 2\sin\left(2x+\dfrac {\pi}{4}\right )$的图象上所有的点的(  )

A.横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍(纵坐标不变),再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位

B.横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍(纵坐标不变),再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位

C.横坐标伸长到原来的$2$倍(纵坐标不变),再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位

D.横坐标伸长到原来的$2$倍(纵坐标不变),再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位

(2)函数$y=\sin^4 x-\cos^4 x$的周期为_____,函数$y=\sin^4 x+\cos^4 x$的周期为_____;

(3)函数$y=2\sin\left(\dfrac {\pi}{6}-2x\right )(x\in[0,\pi])$的增区间为______;

(4)函数$y=\sin x\left(1+\tan x\cdot \tan\dfrac x2\right )$的最小正周期为_____.

答案 (1)C;

(2)$\pi,\dfrac {\pi}{2}$;

(3)$\left[\dfrac {\pi}{3},\dfrac {5\pi}{6}\right ]$;

(4)$2\pi$.


二、范围相关的问题

(1)已知$\theta \in(0,\pi)$,$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac {17}{25}$,则$\tan\theta=$____;

(2)已知$\tan \alpha,\tan\beta$是方程$x^2+3\sqrt 3 x+4=0$的两根,若$\alpha,\beta\in\left(-\dfrac {\pi}{2},\dfrac {\pi}{2}\right )$,则$\alpha+\beta=$_____;

(3)若$2\sin^2\alpha+\sin^2\beta=3\sin\alpha$,则$\sin^2\alpha+\sin^2\beta$的取值范围是_____;若$3\sin^2\alpha+2\sin^2\beta=2\sin\alpha$,则$\cos^2\alpha+\cos^2\beta$的最小值为_____.

答案 (1)$-\dfrac {24}{7}$;

(2)$-\dfrac {2\pi}{3}$;

(3)$\left[0,\dfrac 54\right ]\cup\{2\}$,$\dfrac {14}{9}$.


三、在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,完成以下问题:

(1)若$a=2$,$b=\sqrt 2$,$A=\dfrac {\pi}{4}$,则$B=$_____.

(2)已知$\sin A=\dfrac 35$,$\cos B=\dfrac {5}{13}$,则$\cos C=$_____;

(3)如果$\triangle ABC$是锐角三角形,且$B=2A$,则$\dfrac ba$的取值范围是_____;

答案 (1)$\dfrac {\pi}{6}$;

(2)$\dfrac {16}{65}$;

(3)$(\sqrt 2,\sqrt 3)$.

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