在四面体$ABCD$中，已知$AD\perp BC$，$AD=6$，且$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=2$，则四面体$ABCD$的体积的最大值为_______．
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[易错题汇编]（七）不等式篇
一、范围与最值
（1）函数$f(x)=\dfrac {x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值为_____；
（2）已知正实数$x,y$满足$\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}=4$，则$x+4y$的最小值为_____；
（3）设$\alpha,\beta$是方程$x^2-2kx+k+6=0$的两个实根，则$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2$的最小值为_____；
（4）已知$x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，且$x+2y=1$，则$2x+3y^2$的最小值为_____；
（5）函数$f(x)=\dfrac {2}{\sin^2 x}+\dfrac {8}{\cos^2 x}$的最小值为_____；
（6）已知$a^2+b^2=2$，$x^2+y^2=4$，则$ax+by$的最大值为_____．
每日一题[450]取整再取整
已知函数\(f(x)=\left[x\left[x\right]\right]\)，其中\([x]\)表示不大于\(x\)的最大整数，当\(x\in(0,n]\)，\(n\in\mathcal N^*\)时，函数\(f(x)\)的值域为集合\(A_n\)，则
（1）集合\(A_n\)中有____个元素；
（2）若$f(x)=100$，且$x>0$时，则$x$的取值范围是_____．
练习题集[39]基础练习
1、已知函数$f(x)={\rm e}^x-ax-1$，$g(x)=\ln\left({\rm e}^x-1\right)-\ln x$，若存在$m>0$，使$f(g(m))>f(m)$成立，则$a$的取值范围是_______．
每日一题[449]二次函数与插值
已知$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$)，求证：最多存在两个整数$s,t$，使得$|f(s)|,|f(t)|$小于$\dfrac a2$．
[易错题汇编]（六）解不等式特别篇
本期是精选的十个高中常（diao）见（zuan）的解不等式问题，包含高次不等式、分式不等式、无理不等式、绝对值不等式、指数不等式与对数不等式．解不等式是高中数学的基本功，而这个系列的十个不等式从诞生之日（当初被虐的同学有的已经大学毕业了）起，还没有遇到一次被全部做对的，你敢挑战一下吗？
解下列不等式：
（1）$(x+2)(x+1)^2(x-1)^3(x-3)\leqslant 0$；
（2）$\dfrac{x^2+x-2}{x^3+7x^2-8x}\geqslant 0$；
（3）$\dfrac {4}{x-1}\leqslant x-1$；
（4）$\sqrt{x-1}>x-3$；
（5）$\sqrt{2x^2-6x+4}<x+2$；
（6）$(x-1)\sqrt{x+2}\geqslant 0$；
（7）$\left|x^2-4\right |\leqslant x+2$；
（8）$|x+7|+|x-2|<3$；
（9）$\sqrt{0.25^{5-x^2}}<\dfrac {8^x}{2}$；
（10）$\log_{2x}(x^2-5x+6)<1$．
练习题集[38]基础练习
1、已知点$A$是抛物线$y=\dfrac 14x^2$的对称轴与准线的交点，点$F$为抛物线的焦点，点$P$在抛物线上，则$\dfrac{|PF|}{|PA|}$的最小值是_______．
每日一题[448]发现定向量
边长为$2$的正三角形$ABC$（包括边界）内有点$P$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=1$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$的取值范围是_______．
每日一题[447]探索、发现与证明
已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且$a_1=1$，求证：对任意$n\geqslant 2$，均有$\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$是正整数．
[易错题汇编]（五）数列篇
一、数列的项与和的关系
1．已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=a^n-1(a\ne 0)$，则数列$\{a_n\}$（ ）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列或者是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列