2013年高考浙江理科数学第10题（选择压轴题）：
在空间中，过点\(A\)作平面\(\pi\)的垂线，垂足为\(B\)，记\(B=f_{\pi}(A)\)，设\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，对空间任意一点\(P\)，\(Q_1=f_{\beta}\left[f_{\alpha}(P)\right]\)，\(Q_2=f_{\alpha}\left[f_{\beta}(P)\right]\)，恒有\(PQ_1=PQ_2\)，则（ ）
A．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)垂直
B．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)所成的（锐）二面角为\(45^\circ\)
C．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)平行
D．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)所成的（锐）二面角为\(60^\circ\)
2015年高考四川卷理科数学第15题（填空压轴题）：
已知函数\(f(x)=2^x\)，\(g(x)=x^2+ax\)（其中\(a\in\mathcal R\)，对于不相等的实数\(x_1,x_2\)，设\(m=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\)，\(n=\dfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}\)．现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数\(x_1,x_2\)，都有\(m>0\)；
② 对于任意的\(a\)及任意不相等的实数\(x_1,x_2\)，都有\(n>0\)；
③ 对于任意的\(a\)，存在不相等的实数\(x_1,x_2\)，使得\(m=n\)；
④ 对于任意的\(a\)，存在不相等的实数\(x_1,x_2\)，使得\(m=-n\)．
其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）．
1、若\(f(x)\)和\(g(x)\)都是定义在实数集\(\mathcal R\)上的函数，且方程\(x-f(g(x))=0\)有实数解，则\(g(f(x))\)不可能是（ ）
A．\(x^2+x-\dfrac 15\)
B．\(x^2+x+\dfrac 15\)
C．\(x^2-\dfrac 15\)
D．\(x^2+\dfrac 15\)
2、在边长为\(1\)的正六边形\(ABCDEF\)中，记以\(A\)为起点，其余顶点为终点的向量分别为\(\vec a_i\)（\(i=1,2,3,4,5\)）；以\(D\)为起点，其余顶点为终点的向量分别为\(\vec d_i\)（\(i=1,2,3,4,5\)）．若\(m\)、\(M\)分别为\(\left(\vec a_i+\vec a_j+\vec a_k\right)\cdot\left(\vec d_r+\vec d_s+\vec d_t\right)\)的最小值、最大值，其中\(\left\{i,j,k\right\}\subseteq\left\{1,2,3,4,5\right\}\)，\(\left\{r,s,t\right\}\subseteq\left\{1,2,3,4,5\right\}\)，则（ ）
A．\(0=m<M\)
B．\(m<0<M\)
C．\(m<M=0\)
D．\(m<M<0\)
3、已知\(a>0\)且\(a\neq 1\)，\(f(x)=x^2-a^x\)．若对任意\(x\in (-1,1)\)，均有\(f(x)<\dfrac 12\)，则\(a\)的取值范围是_______．
4、设\(m,k\)为整数，关于\(x\)的方程\(mx^2-kx+2=0\)在区间\((0,1)\)上有两个不同实根，则\(m+k\)的最小值是_______．
5、如果钝角三角形\(ABC\)的三个内角的大小成等差数列，则其最大边与最小边的比的取值范围是_______．
6、能被\(3\)整除的没有重复数字的六位数的个数为_______．
7、圆周上有\(n\)个点（\(n\geqslant 4\)且\(n\in\mathcal N\)），将这些点两两连接成弦，则这些弦将圆至多划分成的区域数为_______．
2015年高考四川卷理科数学第10题、文科数学第10题（选择压轴题）：
设直线\(l\)与抛物线\(y^2=4x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，与圆\((x-5)^2+y^2=r^2\)（\(r>0\)）相切于点\(M\)，且\(M\)为线段\(AB\)的中点．若这样的直线\(l\)恰有\(4\)条，则\(r\)的取值范围是（ ）
A．\((1,3)\)
B．\((1,4)\)
C．\((2,3)\)
D．\((2,4)\)
2015年高考陕西卷理科数学第21题（压轴题）：
设\(f_n(x)\)是等比数列\(1,x,x^2,\cdots,x^n\)的各项和，其中\(x>0\)，\(n\in\mathcal N\)，\(n\geqslant 2\)．
（1）证明： 函数\(F_n(x)=f_n(x)-2\)在\(\left(\dfrac 12,1\right)\)内有且仅有一个零点（记为\(x_n\)），且\(x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}\)；
（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为\(g_n(x)\)，比较\(f_n(x)\)和\(g_n(x)\)的大小，并加以证明．
2015年高考陕西卷理科数学第12题（选择压轴题）：
对二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\)为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．\(-1\)是\(f(x)\)的零点
B．\(1\)是\(f(x)\)的极值点
C．\(3\)是\(f(x)\)的极值
D．点\((2,8)\)在曲线\(y=f(x)\)上
2015年高考湖北卷理科数学第22题（压轴题）：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的各项均为正数，\(b_n=n\left(1+\dfrac 1n\right)^na_n\)（\(n\in\mathcal N^*\)），\(\rm e\)为自然对数的底数．
（1）求函数\(f(x)=1+x-{\rm e}^x\)的单调区间，并比较\(\left(1+\dfrac 1n\right)^n\)与\(\rm e\)的大小；
（2）计算\(\dfrac {b_1}{a_1}\)，\(\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}\)，\(\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}\)，并由此推测计算\(\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}\)的公式，并给出证明；
（3）令\(c_n=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}\)，数列\(\{a_n\}\)，\(\{c_n\}\)的前\(n\)项和分别记为\(S_n\)，\(T_n\)，证明：\(T_n<{\rm e}S_n\)．
2012年高考浙江卷理科数学第8题：
如图，\(F_1\)、\(F_2\)分别是双曲线\(C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点，\(B\)是虚轴的端点，直线\(F_1B\)与\(C\)的两条渐近线分别交于\(P\)、\(Q\)两点，线段\(PQ\)的垂直平分线与\(x\)轴交于点\(M\)．若\(MF_2=F_1F_2\)，则\(C\)的离心率为_______．
正确答案是\(\dfrac{\sqrt 6}2\)．
解 根据题意，设\(F_1(-c,0)\)，则\(M(3c,0)\)．直线\(PQ\)的斜率为\[\frac{y_B-y_{F_1}}{x_B-x_{F_1}}=\frac bc,\]根据一般圆锥曲线的“垂径定理”，直线\(ON\)斜率满足\[k_{PQ}\cdot k_{ON}=\frac {b^2}{a^2},\]于是直线\(ON\)的斜率为\(\dfrac{bc}{a^2}\)．另一方面，直线\(MN\)的斜率为\(-\dfrac cb\)．因此设点\(N(x,y)\)，则\[\begin{cases}\dfrac y{x+c}=\dfrac bc,\\\dfrac yx=\dfrac{bc}{a^2},\\\dfrac{y}{x-3c}=-\dfrac cb,\end{cases}\]从中消去\(x\)、\(y\)得\[\frac{a^2}{bc}-\frac{3b}{c}=-\frac bc,\]整理得\[3c^2=2a^2,\]从而离心率\[e=\frac{\sqrt 6}2.\]
2015年高考湖北卷理科数学第21题（解析几何大题）：
一种作图工具如图所示．\(O\)是滑槽\(AB\)的中点，短杆\(ON\)可绕\(O\)转动，长杆\(MN\)通过\(N\)处铰链与\(ON\)连接，\(MN\)上的栓子可沿滑槽\(AB\)滑动，且\(DN=ON=1\)，\(MN=3\)．当栓子\(D\)在滑槽\(AB\)内作往复运动时，带动\(N\)绕\(O\)转动一周（\(D\)不动时，\(N\)也不动），\(M\)处的笔尖画出的曲线记为\(C\)．以\(O\)为原点，\(AB\)所在的直线为\(x\)轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线\(C\)的方程；
（2）设动直线\(l\)与两定直线：\(l_1:x-2y=0\)和\(l_2:x+2y=0\)分别交于\(P\)、\(Q\)两点．若直线\(l\)总与曲线\(C\)有且只有一个公共点，试探究：\(\triangle OPQ\)的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
2015年高考数学湖北卷理科数学第14题（填空压轴题）：
如图，圆\(C\)与\(x\)轴相切于点\(T(1,0)\)，与\(y\)轴正半轴交于两点\(A\)、\(B\)（\(B\)在\(A\)的上方），且\(AB=2\)．
（1）圆\(C\)的标准方程为_______；
（2）过点\(A\)任作一条直线与圆\(O:x^2+y^2=1\)相交于\(M\)、\(N\)两点，下列三个结论：
① \(\dfrac{NA}{NB}=\dfrac{MA}{MB}\);
② \(\dfrac{NB}{NA}-\dfrac{MA}{MB}=2\)；
③ \(\dfrac{NB}{NA}+\dfrac{MA}{MB}=2\sqrt 2\)．
其中正确结论的序号是_______．（写出所有正确结论的序号）
