[易错题汇编](七)不等式篇

一、范围与最值

(1)函数$f(x)=\dfrac {x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值为_____;

(2)已知正实数$x,y$满足$\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}=4$,则$x+4y$的最小值为_____;

(3)设$\alpha,\beta$是方程$x^2-2kx+k+6=0$的两个实根,则$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2$的最小值为_____;

(4)已知$x\geqslant 0$,$y\geqslant 0$,且$x+2y=1$,则$2x+3y^2$的最小值为_____;

(5)函数$f(x)=\dfrac {2}{\sin^2 x}+\dfrac {8}{\cos^2 x}$的最小值为_____;

(6)已知$a^2+b^2=2$,$x^2+y^2=4$,则$ax+by$的最大值为_____.

答案 (1)$\dfrac 52$;

(2)$\dfrac 94$;

(3)$8$;

(4)$\dfrac 34$;

(5)$18$;

(6)$2\sqrt 2$.


二、规划问题

(1)已知$-2<a+b<2$,且$2<a-b<4$,则$2a+3b$的取值范围是_____;

(2)已知函数$f(x)=ax^2+bx$,且$1\leqslant f(-1)\leqslant 2$,$3\leqslant f(1)\leqslant 4$,则$f(-2)$的取值范围是_______;

(3)已知点$P(x,y)$的坐标满足条件$$\begin{cases} x\leqslant 1,\\y\leqslant 2,\\2x+y-2\geqslant 0,\end{cases} $$那么$x^2+y^2$的取值范围是_______.

答案 (1)$(-7,4)$;

(2)$[6,10]$.

(3)$\left[\dfrac 45,5\right ]$.


三、恒成立问题

(1)若不等式$x^2-{\log_a}x>0$在$\left(\dfrac 12,1\right)$上恒成立,则实数$a$的取值范围是_____;

(2)若不等式$(-1)^na<2+\dfrac {(-1)^{n+1}}{n}$对于任意$n\in\mathcal{N}^*$均成立,则实数$a$的取值范围是_____.

答案 (1)$\left(0,\dfrac {1}{16}\right]\cup(1,+\infty)$;

(2)$\left[-2,\dfrac 32\right )$.

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