2001年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：
已知正数\(a,b,c\)满足\(a+b+c=3\)，求证：\(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geqslant ab+bc+ca\)．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，设\(A,B,C\)是平面上不同的三点，并且都在圆\(x^2+y^2=1\)上，若存在实数\(\lambda,\mu\)使得\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\)，则\(\left(\lambda -3\right)^2+\mu^2\)的取值范围是_______．
已知实数\(a,b,x,y\)满足\[\begin{cases}ax+by=3,\\ax^2+by^2=7,\\ax^3+by^3=16,\\ax^4+by^4=42,\end{cases}\]求\(ax^5+by^5\)的值． 继续阅读
题目选自高中数学吧来几个题目先290楼：
已知函数\(f_t(x)=(x-t)^2-t\)，\(t\in\mathcal R\)，设\(a<b\)，\(f(x)=\begin{cases}f_a(x),&f_a(x)<f_b(x),\\f_b(x),&f_a(x)\geqslant f_b(x).\end{cases}\)若函数\(y=f(x)+x+a-b\)有四个零点，则\(b-a\)的取值范围是_______．
2014年全国高中数学联赛四川省预赛第9题：
已知\(a,b\)为实数，对任何满足\(0\leqslant x\leqslant 1\)的实数\(x\)，都有\(\left|ax+b\right|\leqslant 1\)成立，则\(\left|20a+14b\right|+\left|20a-14b\right|\)的最大值是_______．
数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，且\(a_2=\sqrt 5\)，且当\(n\geqslant 2\)时，\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{a_n^2}{a_{n-1}^2}-2\)，求证：\[\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_n} <\dfrac{1+\sqrt 5}{2}.\]
2014年全国高中数学联赛河南省预赛第7题：
符号\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，\(n\)是正整数，则\(\sum\limits_{n=1}^{2014}\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right)\)的值是_______．
2015年全国高中数学联赛安徽省预赛第9题：
已知正实数\(a,b\)满足\(a+b=1\)，求证：\(\sqrt{a^2+\dfrac 1a}+\sqrt{b^2+\dfrac 1b}\geqslant 3\)．
题目精选自高中数学吧 来几个题目先．
1、（269楼问题）设\(m\)和\(n\)是两条异面直线，过直线\(m\)上等距三点\(A\)、\(B\)、\(C\)作直线\(n\)的垂线，垂足分别为\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，若\(AA'=\sqrt{15}\)，\(BB'=\dfrac 72\)，\(CC'=\sqrt{10}\)，则直线\(m\)与\(n\)的距离为_______．
2、（270楼问题）已知\(A\)、\(B\)、\(C\)为任意实数，则\(\sin^2A\cos^2B+\sin^2B\cos^2C+\sin^2C\cos^2A\)的最大值为_______．
3、（282楼问题）已知\(\overrightarrow a\)、\(\overrightarrow b\)满足\(\left|\overrightarrow a\right|=1\)，\(\langle \overrightarrow b,\overrightarrow b-\overrightarrow a\rangle =120^\circ\)，则\(\left|\overrightarrow b\right|^2-\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right)^2\)的最大值为_______．
4、（282楼问题）解不等式：\(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6-2x^4-1\leqslant 0\)．
5、（290楼问题）已知变量\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+2y-3\leqslant 0,\\x+3y-3\geqslant 0,\\y-1\leqslant 0.\end{cases}\)若目标函数\(z=ax+by\)（\(a\neq 0\)）取得最大值时的最优解有无数多组，求点\((a,b)\)的轨迹．
6 、（238楼问题）\(P,Q\)是两个定点，点\(M\)为平面内的动点，且\(\dfrac{MP}{MQ}=\lambda\)（\(\lambda >0\land \lambda \neq 0\)）．点\(M\)的轨迹围成的平面区域的面积为\(S(\lambda)\)，判断\(S(\lambda)\)的单调性．
7、（251楼问题）已知定义在同一个区间\(\left(\dfrac{\sqrt 3}3,\dfrac{\sqrt 6}2\right)\)的两个函数\(f(x)=x^2-2a\ln x\)，\(g(x)=x^3-bx^2+x\)在\(x=x_0\)处的切线均平行于\(x\)轴．
（1）求实数\(a\)与实数\(b\)的取值范围；
（2）试问：是否存在实数\(x_1,x_2\)，当\(x_1,x_0,x_2\)成等比数列时，等式\(f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)=2g\left(x_0\right)\)成立？若成立，求出实数\(a\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
