2014年全国高中数学联赛四川省预赛第9题：
已知\(a,b\)为实数，对任何满足\(0\leqslant x\leqslant 1\)的实数\(x\)，都有\(\left|ax+b\right|\leqslant 1\)成立，则\(\left|20a+14b\right|+\left|20a-14b\right|\)的最大值是_______．
正确答案是\(80\)．
我们熟知\[\left|20a+14b\right|+\left|20a-14b\right|=\max\left\{40|a|,28|b|\right\},\]于是问题转化为求\(|a|\)、\(|b|\)的最大值．
当\(x=0\)时，容易得到\[|b|\leqslant 1,\]而由图可知被困在矩形区域的直线\(f(x)=ax+b\)在\(x\in [0,1]\)上的值域为\([-1,1]\)的子集，于是斜率\(a\)必然在\([-2,2]\)内，于是\[|a|\leqslant 2,\]从而不难得到当\(a=2\land b=-1\)时，原式取得最大值为\(80\)．
事实上，依照图形的启示，对\(|a|\leqslant 2\)的严格表述可以利用\(f(0)=|b|\)和\(f(1)=|a+b|\)进行：\[|a|=\left|\left(a+b\right)-b\right|\leqslant |a+b|+|b|\leqslant 2.\]
下面这个问题可以作为练习：
若对任何满足\(-1\leqslant x\leqslant 1\)的实数\(x\)，都有\(\left|ax^2+bx+c\right|\leqslant 1\)成立，求\(a\)的取值范围．
答案是\(-2\leqslant a\leqslant 2\)，如图．
