若数列$\{a_n\}$满足：对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，只有有限个正整数$m$使得$a_m<n$成立，记这样的$m$的个数为$(a_n)^*$，则得到一个新数列$\left\{(a_n)^*\right \}$．例如，若数列$\{a_n\}$是$1,2,3,\cdots,n,\cdots$，则数列的$\{(a_n)^*\}$是$0,1,2,\cdots,n-1,\cdots$．已知对任意的$n\in\mathcal{N}^*$，$a_n=n^2$，则$(a_5)^*=$_____，$\big((a_n)^*\big)^*=$_____．
1、设$a,b,c\in\mathcal R^+$，且$ab+bc+ca=1$，证明下列不等式：
（1）$\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\geqslant 3\sqrt 3$；
（2）$abc(a+b+c)\leqslant \dfrac 13$．
设函数$f(x)=\dfrac {a^x}{1+a^x}$（$a>0$且$a\ne 1$），$[m]$表示不超过实数$m$的最大整数，则函数$\left[f(x)-\dfrac 12\right ]+\left[f(-x)-\dfrac 12\right ]$的值域是_____．
如图，\(D\)为\(\triangle ABC\)内一点，满足\(\angle ABC=\angle BCD=30^\circ\)，\(\angle ABD=\angle ACD\)，\(BD=7\sqrt 3\)，\(AC=5\sqrt 3\)，求\(AD\)的长．
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已知椭圆$\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$，点$P(4,0)$，过点$P$作椭圆的割线$PAB$，$C$为$B$关于$x$轴的对称点．求证：直线$AC$恒过定点．
介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识：
一、定比分点
若$\overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {MB}$，则称点$M$为点$A$、$B$的$\lambda $定比分点．
当$\lambda >0$时，点$M$在线段$AB$上，称为内分点；
当$\lambda <0$（$\lambda \ne -1$）时，点$M$在线段$AB$的延长线上，称为外分点．
定比分点坐标公式：若点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$\overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {MB}$，则点$M$的坐标为\[M\left(\dfrac {x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },\dfrac {y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\right ).\]
如果对于任意一个三角形，只要它的三边长$a,b,c$都在函数$f(x)$的定义域内，就有$f(a),f(b),f(c)$也是某个三角形的三边长，则称$f(x)$为“保三角形函数”．
①$f(x)=\sqrt x$；②$g(x)=\sin x,x\in(0,\pi)$；③$h(x)=\ln x,x\in[2,+\infty)$．
是“保三角形函数”的序号为_____．
如图，\(AB\perp BC\)，\(AD\parallel BC\)，\(AB=3\)，\(AD=2\)．点\(P\)在线段\(AB\)上，连接\(PD\)，过点\(D\)作\(PD\)的垂线，与\(BC\)相交于点\(C\)．设线段\(AP\)的长为\(m\)，\(\triangle PDC\)的面积为\(S\)，求\(S\)关于\(m\)的函数解析式．
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以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间$[0,4]$对应的线段，对折后（坐标$4$对应的点与原点重合）再均匀地拉成$4$个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标$1$、$3$变成$2$，原来的坐标$2$变成$4$，等等）．
那么原闭区间$[0,4]$上（除两个端点外）的点，在第$n$次操作完成后（$n\geqslant 1$），恰好被拉到与$4$重合的点所对应的坐标为$f(n)$，则$f(3)=$_____，$f(n)=$_____．
设$O$为$\triangle ABC$的外心，$x \overrightarrow {OA}+y\overrightarrow {OB}+z\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {0}$，$xyz\ne 0$，$C$为$\triangle ABC$的内角，则$\cos{2C}=$_____．（用$x,y,z$表示）
