迭代函数法

已知有界数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$,$a_{n+1}=a_n^2+a$,求$a$的取值范围.


分析    以迭代函数$f(x)=x^2+a$的不动点分布情况为依据展开讨论.

   设函数$f(x)=x^2+a$,则$f(x)$在$x<0$时单调递减,在$x>0$时单调递增.考虑函数$f(x)$的不动点方程$x^2+a=x$,当$a\leqslant \dfrac 14$时有不动点$$x_1=\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2,x_2=\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}2.$$

  • 第一种情况,$a>\dfrac 14$.

此时函数$f(x)$没有不动点,根据已知有$$a_{n+1}-a_n=a_n^2-a_n+a=\left(a_n-\dfrac 12\right)^2+a-\dfrac 14>a-\dfrac 14,$$于是数列$\{a_n\}$无上界,不符合题意.

  • 第二种情况,$0<a\leqslant \dfrac 14$.

此时$0<a<x_1$,由于此时迭代函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,于是数列$\{a_n\}$递增收敛于$x_1$,于是数列$\{a_n\}$有界,符合题意.

  • 第三种情况,$-2\leqslant a\leqslant 0$.

此时可以证明$a\leqslant a_n\leqslant a^2+a$,因此数列$\{a_n\}$有界.

  • 第四种情况,$a<-2$.

此时$a_2>x_2>0$,于是$$a_{n+1}-x_2=(a_n+x_2)(a_n-x_2),$$于是当$n\geqslant 2$时,有$$\dfrac{a_{n+1}-x_2}{a_n-x_2}\geqslant 2x_2>4,$$因此数列$\{a_n\}$无上界,不符合题意.

综上所述,$a$的取值范围是$\left[-2,\dfrac 14\right]$.

   第三种情况可以细化为:

(1)$a=0$.

此时$a_n=0$,符合题意.

(2)$-1<a<0$.

此时$a<x_1<a^2+a<0$,由于此时迭代函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减,于是数列$\{a_n\}$振荡收敛于$x_1$,于是数列$\{a_n\}$有界,符合题意.

(3)$a=-1$.

此时数列$\{a_n\}$为$-1,0,-1,0,\cdots $,因此数列$\{a_n\}$有界,符合题意.

(4)$-2<a<-1$.

此时可以证明$a\leqslant a_n\leqslant a^2+a$,因此数列$\{a_n\}$有界,从某项开始振荡收敛于$x_1$,符合题意.

(5)$a=-2$.

此时数列$\{a_n\}$为$-2,2,2,\cdots $,因此数列$\{a_n\}$有界,符合题意.

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