已知有界数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$，$a_{n+1}=a_n^2+a$，求$a$的取值范围．
分析 以迭代函数$f(x)=x^2+a$的不动点分布情况为依据展开讨论．
解 设函数$f(x)=x^2+a$，则$f(x)$在$x<0$时单调递减，在$x>0$时单调递增．考虑函数$f(x)$的不动点方程$x^2+a=x$，当$a\leqslant \dfrac 14$时有不动点$$x_1=\dfrac{1-\sqrt{1-4a}}2,x_2=\dfrac{1+\sqrt{1-4a}}2.$$
- 第一种情况，$a>\dfrac 14$．
此时函数$f(x)$没有不动点，根据已知有$$a_{n+1}-a_n=a_n^2-a_n+a=\left(a_n-\dfrac 12\right)^2+a-\dfrac 14>a-\dfrac 14,$$于是数列$\{a_n\}$无上界，不符合题意．
- 第二种情况，$0<a\leqslant \dfrac 14$．
此时$0<a<x_1$，由于此时迭代函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，于是数列$\{a_n\}$递增收敛于$x_1$，于是数列$\{a_n\}$有界，符合题意．
- 第三种情况，$-2\leqslant a\leqslant 0$．
此时可以证明$a\leqslant a_n\leqslant a^2+a$，因此数列$\{a_n\}$有界．
- 第四种情况，$a<-2$．
此时$a_2>x_2>0$，于是$$a_{n+1}-x_2=(a_n+x_2)(a_n-x_2),$$于是当$n\geqslant 2$时，有$$\dfrac{a_{n+1}-x_2}{a_n-x_2}\geqslant 2x_2>4,$$因此数列$\{a_n\}$无上界，不符合题意．
综上所述，$a$的取值范围是$\left[-2,\dfrac 14\right]$．
注 第三种情况可以细化为：
（1）$a=0$．
此时$a_n=0$，符合题意．
（2）$-1<a<0$．
此时$a<x_1<a^2+a<0$，由于此时迭代函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，于是数列$\{a_n\}$振荡收敛于$x_1$，于是数列$\{a_n\}$有界，符合题意．
（3）$a=-1$．
此时数列$\{a_n\}$为$-1,0,-1,0,\cdots $，因此数列$\{a_n\}$有界，符合题意．
（4）$-2<a<-1$．
此时可以证明$a\leqslant a_n\leqslant a^2+a$，因此数列$\{a_n\}$有界，从某项开始振荡收敛于$x_1$，符合题意．
（5）$a=-2$．
此时数列$\{a_n\}$为$-2,2,2,\cdots $，因此数列$\{a_n\}$有界，符合题意．