朗博函数简介

        朗博W函数(Lambert W Function),又称欧米伽函数或乘积对数函数,是复变函数$f(x)=x\cdot \exp (x)$的反函数.如果我们把朗博函数的定义域限制在$\left[-\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$上,取其在$[-1,+\infty)$上的函数值,那么就定义了一个单调递增的函数$W(x)$;同时将定义域在$\left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$时,取其在$(-\infty,-1)$上的函数值,那么就定义了一个单调递减的函数$W_{-1}(x)$.

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        在中学阶段通常用以解形如$$x\cdot {\rm e}^x=a(a\geqslant 0)$$的方程(往往是超越方程),将其实数根记为$W(a)$.当$a\in \left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$时,方程有两个实根$W(a),W_{-1}(a)$.

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        很多包含对数函数的超越方程也可以利用朗博函数求解,如$$x\ln x=a,x+\ln x=a,\dfrac{\ln x}x=-a,$$其中$a\geqslant 0$.它们的解分别为$$x={\rm e}^{W(a)},x=W({\rm e}^a),x={\rm e}^{-W(a)}.$$需要注意的是利用朗博函数的性质,可以作类似下面的化简:$${\rm e}^{-W(a)}=\dfrac{W(a)}{a}.$$

例一    若$\forall x>0,x{\rm e}^{2x}-kx-\ln x-1\geqslant 0$,求实数$k$的取值范围.

   分离变量,记函数$f(x)={\rm e}^{2x}-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 1x$,则问题的关键是求$f(x)$的最小值.函数$f(x)$的导函数$$f'(x)=2{\rm e}^{2x}+\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac 1x\left(2x{\rm e}^{2x}+\dfrac{\ln x}x\right).$$令$$\begin{cases} 2x{\rm e}^{2x}=a,\\ \dfrac{\ln x}{x}=-a,\end{cases} $$则解得$$x=\dfrac 12W(a)=\dfrac{W(a)}a,$$于是$a=2$,且极小值点为$x=\dfrac 12W(2)$,因此函数$f(x)$的极小值,亦为最小值是$$f\left(\dfrac 12W(2)\right)=\dfrac{\dfrac 12W(2){\rm e}^{W(2)}-1}{\dfrac 12W(2)}+2=2,$$因此$k$的取值范围是$(-\infty ,2]$.


例二    若$\forall x\geqslant 0,{\rm e}^{mx}-mx^2-1\geqslant 0$,求正实数$m$的取值范围.

   当$x=0$时,不等式显然成立.当$x>0$时,问题等价于$$\forall x>0,{\rm e}^x-\dfrac{x^2}m-1\geqslant 0,$$即$$\dfrac 1m\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2},x>0.$$

令$f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2}$,则其导函数$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)+2}{x^3}.$$注意到方程$${\rm e}^x(x-2)+2=0,$$即$$(x-2){\rm e}^{x-2}=-2{\rm e}^{-2},$$因此函数$f(x)$的极小值点为$x=2+W(-2{\rm e}^{-2})$(注意舍去$x=2+W_{-1}(-2{\rm e}^{-2})$).因此正实数$m$的取值范围是不等式$$\dfrac 1m\leqslant f(2+W(-2{\rm e}^{-2}))$$的解,化简得$m$的取值范围是$\left[-W(-2{\rm e}^{-2})(W(-2{\rm e}^{-2})+2),+\infty\right)$.

   $W(-2{\rm e}^{-2})\approx -0.4064$,从而$m$的取值范围约为$[0.6476,+\infty)$.

例三     若$\dfrac 12mx^2+(m-1)-1\geqslant \ln x$恒成立,求$m$的最小值.

解     分离变量可得$$m\geqslant \dfrac{\ln x+x+1}{\dfrac 12x^2+x},$$设右侧函数为$\varphi(x)$,则其导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{\dfrac 12(x+1)(-x-2\ln x)}{\left(\dfrac 12x^2+x\right)^2},$$于是其极大值点为$x={\rm e}^{-W\left(\frac 12\right)}$,于是$m$的最小值为$$\varphi\left({\rm e}^{-W\left(\frac 12\right)}\right)={\rm e}^{W\left(\frac 12\right)}.$$

    ${\rm e}^{W\left(\frac 12\right)}\approx 0.7035$,${\rm e}^{-W\left(\frac 12\right)}\approx 1.4215$.


2017.5.23添加:

练习 若${\rm e}^x>a\ln x$对任意$x>1$恒成立,求实数$a$的取值范围.

 考虑分离变量,问题即\[\forall x>1,a<\dfrac{{\rm e}^x}{\ln x},\]记右侧函数为$\varphi(x)$,则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\left(x\ln x-1\right)}{x\ln^2x},\]因此函数$\varphi(x)$在$x={\rm e}^{W(1)}$处取得极小值,亦为最小值.进而实数$a$的取值范围是$\left(-\infty,\dfrac{{\rm e}^{{\rm e}^{W(1)}}}{W(1)}\right)$.

 其中$W(1)$(约等于$0.5671$)是方程$x{\rm e}^x=1$的解,$W(x)$称为朗博函数.

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朗博函数简介》有1条回应

  1. sum sum说:

    emmm,例三注:
    e^{W(\frac{1}{2})}\approx 1.4215
    俩数值反了

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