已知$a>0$，则$x_0$满足关于$x$的方程$ax=b$的充要条件是（ ）
A．$\exists x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
B．$\exists x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
C．$\forall x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
D．$\forall x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
上个星期数学家们发现了目前世界上最大的素数，也是第$49$梅森素数$$M_{49}=2^{74207281}-1,$$这是一个$22338618$位的数．感兴趣的读者可以去关注这篇文章哥德巴赫猜想与1+1=2．下面我们来看一道我们可以解决的与素数有关的问题，这是2011年希望杯高一年级的试题：
已知数列$1,101,10101,1010101,\cdots$．则该数列中的素数项有（ ）
A．无穷多个
B．超过$2$个的有限
C．不超过$2$个
D．$0$个
上周，很多与素数相关的新闻在网上风靡，一则新闻是世界上已知的最大素数的记录被刷新．虽然“素数有无穷多个”这个命题在欧几里德的《几何原本》中就有一个漂亮的证明，现在很多初中学生都会证（你不会？面壁去），但是能证明素数有无穷多个，不代表能把它们写出来．这次发现的素数是一个$22338618$位的数，刷新了2013年以来的最大素数的记录，当时最大的素数是一个$17425170$位的数（这跳跃真够大的）；另一则新闻是第$49$个梅森素数被发现，梅森数是指形如$2^p-1$这样的数，其中指数$p$是素数，如果一个梅森数是素数，那么就称之为梅森素数．事实上，这个目前世界上最大的素数就是第$49$个梅森素数$$M_{49}=2^{74207281}-1.$$而2013年发现的当时最大的素数正是第$48$个梅森素数．
已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=\dfrac {5a_{n-1}-2}{a_{n-1}-5},n\in\mathcal{N}^*,n\geqslant 2$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2000}=50$，则$a_1+a_{20}=$____．
函数\(g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12}+\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)\)，求\(g\left(\dfrac{1}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2}{2016}\right)+\cdots+g\left(\dfrac{2014}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2015}{2016}\right)\)的值．
2012年全国高考四川理科第16题（填空压轴题）：
设$a$为正整数，数列$\{x_n\}$满足$x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\dfrac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathcal{N}^*)$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数，现有下列命题：
①当$a=5$时，数列$\{x_n\}$的前$3$项依次为$5,3,2$；
②对数列$\{x_n\}$都存在正整数$k$，当$n\geqslant k$时，总有$x_n=x_k$；
③当$n\geqslant 1$时，$x_n>\sqrt a-1$；
④对某个正整数$k$，若$x_{k+1}\geqslant x_k$，则$x_k=\left[\sqrt{a}\right ]$．
其中真命题有_____．（写出所有真命题的编号）
这是数海拾贝读者俱乐部里看到的题：
已知函数$f(x)=\begin{cases} -x^2+2x,x\geqslant 0,\\x^2-2x,x<0\end{cases}$，若关于$x$的不等式$[f(x)]^2+af(x)-b^2<0$恰有一个整数解，则实数$a$的最大值为_____．
在每日一题[33]交点曲线系中，我们有：
过椭圆$\dfrac{x^2}{16}+y^2=1$的左顶点作圆$(x-2)^2+y^2=\dfrac 49$的两条切线与椭圆交于另外两点，这两点的连线仍然与圆相切．事实上，这一性质对椭圆的四个顶点均成立，更进一步由彭赛列闭合性质，这一性质对椭圆上的任何一点都成立，如图．
那么对一般的椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a\neq b$)，这样的圆是否存在呢？
编者按 本文作者Brook，由meiyun编辑整理．
平面内定义“区域$X$”为满足条件$P$的所有线段所在的区域．如：平面直角坐标系中，若条件$P$为“线段的一端在原点，另一端距离原点不超过$1$个单位”，则其对应的“区域$X$”为满足$x^2+y^2\leqslant 1$的区域．
若平面内有夹角成$60^\circ$的两条直线$l_{OA}$与$l_{OB}$，且两直线交于$O$，$C,D$分别为$l_{OA}$与$l_{OB}$上的点，并满足条件$P$：$|OC|\cdot |OD|=4$，$E$为线段$CD$的中点，记所有线段$CD$所在区域为“区域$X$”．试判断：
①$I$为$\angle AOB$的角平分线上一点，且$|OI|=2$，以$I$为圆心，$2-\sqrt 3$为半径作圆，则该圆上的点均不在“区域$X$”内；
②$E$在“区域$X$”内，且$|OE|_{\min}=\sqrt 3$；
③过$E$作$EM\perp OA$于$M$，$EN\perp OB$于点$N$，记$\triangle MNE$的面积为$S_1$，过$E$作$EF\parallel l_{OA}$交$l_{OB}$于$F$，$EG\parallel l_{OB}$交$l_{OA}$于$G$，记$\triangle OFG$的面积为$S_2$，则$S_1\leqslant S_2$恒成立；
④存在有限条直线$l$，使得整条$l$在“区域$X$"内．
其中正确的有_____．
