每日一题[439]就一块钱,省着点花

已知集合$A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$中的元素都是正整数,且$a_1<a_2<\cdots<a_n$,集合$A$具有性质$M$:对任意的$x,y\in A$,且$x\neq y$,有$|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$.

(1)判断集合$\{1,2,3,4\}$是否具有性质$M$;

(2)求证:$\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_n}\geqslant \dfrac{n-1}{25}$;

(3)求证:$n\leqslant 9$.


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分析    $|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$,即$$\left|\dfrac 1x-\dfrac 1y\right|\geqslant \dfrac{1}{25},$$也就是集合$$A'=\left\{\dfrac 1{a_1},\dfrac 1{a_2},\cdots ,\dfrac{1}{a_n}\right\}$$中的任何两个元素之间的距离都不小于$\dfrac{1}{25}$.由于$A'$中的元素都在区间$(0,1]$内,因此元素个数是有限的.在构造最多元素的集合$A'$时,我们倾向于从$a_1$开始,每次取尽量小的$a_i$,这样可以更有效的利用为数不多的区间长度.

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   (1)由于$\left\{1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14\right\}$中两个元素之间的最小距离为$$\dfrac 13-\dfrac 14=\dfrac{1}{12}\geqslant \dfrac{1}{25},$$于是集合$\{1,2,3,4\}$具有性质$M$;

(2)根据性质$M$的描述,有\[\begin{split} \dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_n}&=\dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3}+\cdots +\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_n}\\ &\geqslant \dfrac{n-1}{25}.\end{split} \]

(3)对任意正整数$p,q$且$1\leqslant p<q\leqslant n$,均有$$\dfrac{q-p}{25}\leqslant \dfrac{1}{a_p}-\dfrac{1}{a_q}<\dfrac{1}{p},$$于是$$q< \dfrac{25}{p}+p.$$若$p$无法取得$5$,则$n\leqslant 5$,命题显然成立;若$p$可以取得$5$,那么令$p=5$,有$q \leqslant 9$.取$q=n$,可知$n\leqslant 9$.

事实上,$n$的最大值为$9$,下面就是$n=9$的一个例子:$$\{1,2,3,4,5,7,10,17,54\}.$$

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