每日一题[437]柿子挑软的捏

2014年湖南省长郡中学二模压轴题:

已知函数$f(x)=-\dfrac{\ln x}x+{\rm e}^{ax-1}$的最小值为$a$,求$a$的最小值.


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正确答案是$-{\rm e}^{-2}$.

   由$f(x)\geqslant a$知$$x\cdot {\rm e}^{ax-1}-\ln x-ax\geqslant 0,$$令$g(x)=x{\rm e}^{ax-1}-ax-\ln x$,根据题意$g(x)$的最小值为$0$.考虑$g(x)$的导函数$$g'(x)=\dfrac 1x(ax+1)\left(x{\rm e}^{ax-1}-1\right).$$

当$a=0$时,有$$g'(x)=\dfrac 1x\left(x{\rm e}^{-1}-1\right),$$于是$g(x)$在$x={\rm e}$处取得极小值,同时亦为最小值为$g({\rm e})=0$,符合题意.同时,由于$a=0$时符合题意,因此无需考虑$a>0$的情形.

当$a<0$时,设$h(x)=x{\rm e}^{ax-1}-1$,则$h(x)$的导函数$$h'(x)=(ax+1){\rm e}^{ax-1},$$于是$h(x)$在$x=-\dfrac 1a$处取得极大值,同时也为最大值$-\dfrac{1}{a}\left({\rm e}^{-2}+a\right)$.

接下来考虑$a=-{\rm e}^{-2}$的情形.此时$g'(x)$有唯一零点$x={\rm e}^2$,同时亦为$g(x)$的极小值点,同时亦为最小值点,此时$g(x)$的最小值为$g({\rm e}^2)=0$,符合题意.同时,由于$a=-{\rm e}^{-2}$时符合题意,因此无需考虑$a>-{\rm e}^{-2}$的情形.

当$a<-{\rm e}^{-2}$时,$h(x)<0$,因此$g'(x)$有唯一零点$x=-\dfrac 1a$,同时亦为$g(x)$的极小值点,同时亦为最小值点,此时$g(x)$的最小值为\[\begin{split} g\left(-\dfrac 1a\right)&=-\dfrac 1a\cdot {\rm e}^{-2}+1-\ln\left(-\dfrac 1a\right) \\ & =-\dfrac 1a\cdot{\rm e}^{-2}-\ln\left(-\dfrac 1a\cdot {\rm e}^{-2}\right)-1 \\ &>0,\end{split} \]其中用到了常用对数不等式$$\forall x\in(0,1),\ln x< x-1,$$不符合题意.

综上所述,$a$的最小值为$-{\rm e}^{-2}$.

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