边长为$2$的正三角形$ABC$（包括边界）内有点$P$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=1$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$的取值范围是_______．
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每日一题[447]探索、发现与证明
已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且$a_1=1$，求证：对任意$n\geqslant 2$，均有$\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$是正整数．
[易错题汇编]（五）数列篇
一、数列的项与和的关系
1．已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=a^n-1(a\ne 0)$，则数列$\{a_n\}$（ ）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列或者是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
每日一题[446]内心遇上重心
已知$\triangle ABC$中，$B(-1,0)$，$C(1,0)$．设点$G,I$分别为$\triangle ABC$的重心和内心，且$GI\parallel BC$，求$A$点的轨迹方程．
每日一题[445]代数与几何
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$．$P$是椭圆上一点，直线$F_2M$垂直于$OP$且交线段$F_1P$于点$M$，若$F_1M=2MP$，求椭圆$E$的离心率$e$的取值范围．
[易错题汇编]（四）导数篇
一、导数的概念与运算
（1）若函数$f(x)=\dfrac 13x^3-f'(-1)x^2+x+5$，则$f'(1)=$_____；
（2）若函数$f(x)=f'\left(\dfrac {\pi}{4}\right )\cos x+\sin x$，则$f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )=$_____．
阿波罗尼斯圆的应用
我们知道，平面上到两个定点的距离之比为定值$\lambda$($\lambda>0$且$\lambda\neq 1$)的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．当两个定点$A$和$A'$已知时，可以先在直线$AA'$上找到两点$M,N$，使得$$\dfrac{MA}{MA'}=\dfrac{NA}{NA'}=\lambda,$$然后作以$MN$为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆，如图．
每日一题[444]函数与方程
求函数$f(x)=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$的值域．
每日一题[443]焦半径立奇功
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，圆$O$以椭圆$E$的短轴为直径．设$AB$是椭圆$E$的弦且与圆$O$相切，椭圆的一个焦点$F$与弦$AB$在$y$轴同侧，求证：$\triangle FAB$的周长为定值$2a$．
[易错题汇编]（三）三角篇
一、三角函数的图象与性质相关问题
（1）要得到函数$y=\sqrt 2\cos x$的图象，只需要将函数$y=\sqrt 2\sin\left(2x+\dfrac {\pi}{4}\right )$的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位
B．横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位
C．横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位
D．横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位