数形结合解一道恒成立问题

若不等式$$\left(x+3+2\sin\theta\cos\theta\right)^2+\left(x+a\cos\theta+a\sin\theta\right)^2\geqslant \dfrac 18$$对任意实数$x$和$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$恒成立,则实数$a$的取值范围是_____.


分析与解 原不等式即$$\left[x+2+\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2\right]^2+\left[x+a\left(\sin\theta+\cos\theta\right)\right]^2\geqslant \dfrac 18.$$设$A(x+2,x)$,$B\left(-\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2,-a\left(\sin\theta+\cos\theta\right)\right)$,则不等式左边的几何意义是$A,B$之间距离的平方.点$A$在直线$y=x-2$上运动,点$B$在曲线$y^2=-a^2x$($x\in [-\sqrt 2,-1]$)上运动,如图.
屏幕快照 2016-09-06 上午10.46.51当$a\leqslant 0$时,$B$的纵坐标非负,一定满足题意;
当$a>0$时,设下方曲线段端点分别为$P\left(-\sqrt 2,-\sqrt{a^2\sqrt 2}\right)$,$Q\left(-1,-\sqrt{a^2}\right)$,进而可以计算出下列临界值:
(1) $P$在直线$y=x-\dfrac 32$上,此时$a^2=3+\dfrac{17\sqrt 2}8$;
(2) $Q$在直线$y=x-\dfrac 32$上,此时$a^2=\dfrac{25}{4}$;
(3) $PQ$与直线$y=x-\dfrac 32$相切,此时$a^2=6$;
(4) $Q$在直线$y=x-\dfrac 52$上,此时$a^2=\dfrac{49}{4}$.
所以当$a>0$时,有$a^2\in [0,6]\cup \left[\dfrac{49}4,+\infty\right)$.

于是$\left(-\infty,-6\right]\cup\left[\dfrac 72,+\infty\right)$为所求取值范围.

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数形结合解一道恒成立问题》有 3 条评论

  1. hewanyi说:

    怎样将习题及答案导出以作研究之用呢?

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