2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #17
如图，$\triangle AOD$ 与 $\triangle BOC$ 存在对顶角 $\angle AOD=\angle BOC=\dfrac{\pi}4$，$AC=2$，$BD=2\sqrt 2$，且 $BC=AD$．
1、证明：$O$ 为 $BD$ 中点；
2、若 $\sqrt 5\sin 2 A+\cos B=\sqrt 5$，求 $OC$ 的长．
每日一题[3755]折叠弯曲
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16
如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$BC\parallel AD$，$AB\perp AD$，$BC=8$，$AD=9$，$AB=2\sqrt 3$，点 $E$ 为线段 $BC$ 不在端点上的一点，过 $E$ 作 $AB$ 的平行线交 $AD$ 于 $F$，将矩形 $ABEF$ 翻折至与梯形 $ECDF$ 垂直，得到六面体 $ABCDEF$．
1、若 $CF\perp BD$，求 $BE$ 的长；
2、求异面直线 $BC$ 与 $AD$ 所成角余弦值的最小值．
每日一题[3754]逐步引导
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14
四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB=AD=\sqrt{10}$，$CB=CD=5$，$\angle BAD=90^{\circ}$，$PB=4$，$PC=3$，$\triangle PBC$ 内部点 $Q$ 满足四棱锥 $Q-ABCD$ 与三棱锥 $Q-PAD$ 的体积相等，则 $PQ$ 长的最小值为_____．
每日一题[3753]映射计数
2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $|A|$ 为集合 $A$ 中元素的个数，$\displaystyle\min (A)$ 为集合 $A$ 中的最小元素．若非空数集 $A\subseteq\{1,2,\cdots,n\}$，且满足 $|A|\leqslant\displaystyle\min (A)$，则称集合 $A$ 为 $n$ 阶完美集．记 $a_n$ 为全部 $n$ 阶完美集的个数，下列说法中正确的是（ ）
A．$a_4=7$
B．将 $n$ 阶完美集 $A$ 的元素全部加 $1$，得到的新集合，是 $n+1$ 阶完美集
C．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\in A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n$
D．若 $A$ 为 $(n+2)$ 阶完美集，$|A|>1$ 且 $n+2\notin A$，满足条件的集合 $A$ 的个数为 $a_{n+1}-n-1$
每日一题[3752]螺旋上升
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #19
已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足，$a_1,a_2$ 为正整数，$a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．
1、若 $a_1=1$，$ a_3=2$，求 $a_4$；
2、证明：存在 $k\in \mathbb N$，使得 $a_k=0$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 是周期为 $3$ 的数列的必要不充分条件：
3、若 $a_1\neq a_2$，是否存在数列 $\left\{a_n\right\}$，使得 $a_n<2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_1,a_2$ 的值：若不存在，请说明理由．
每日一题[3751]平均性质与角分线
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #18
已知拋物线 $y^2=2 x$，过点 $N(2,0)$ 作两条直线 $l_1,l_2$ 分别交拋物线于 $A,B$ 和 $C,D$（其中 $A,C$ 在 $x$ 轴上方）．
1、当 $l_1$ 垂直于 $x$ 轴，且四边形 $ACBD$ 的面积为 $4\sqrt 5$ 时，求直线 $l_2$ 的方程；
2、当 $l_1,l_2$ 倾斜角互补时，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $M$，求 $\triangle MAB$ 的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
每日一题[3750]稳扎稳打
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #17
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概案为 $p$（$0<p<1$），输的概率为 $1-p$，每局比赛的结果是独立的．
1、当 $p=\dfrac 2 3$ 时，求甲最终获胜的概率；
2、为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案． 方案一：最终获胜者得 $3$ 分，失败者得 $-2$ 分； 方案二：最终获胜者得 $1$ 分，失败者得 $0$ 分； 请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
每日一题[3749]对比推理
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #14
某次考试共 $5$ 道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给 $2$ 分，答错或不答的扣 $1$ 分，每个人的基本分为 $10$ 分．已知赵、钱、孙、李、周、吴 $6$ 人的作答情况及前 $5$ 个人的得分情况如下表，则吴的得分为[[nn]]． \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{题号/人}&\text{赵}&\text{钱}&\text{孙}&\text{李}&\text{周}&\text{吴}\\ \hline 1&\checkmark&\checkmark&\times&\times&\checkmark&\checkmark \\ \hline 2&\times&\checkmark&\times&\checkmark&\checkmark&\checkmark \\ \hline 3&\checkmark&\times&\times&\checkmark&\times& \times\\ \hline 4&\checkmark&\times&\times&\times&\checkmark&\times\\ \hline 5&\times&\times&\checkmark&\checkmark&\checkmark&\checkmark \\ \hline \text{得分}&14&11&14&14&11& \\ \hline \end{array}\]
每日一题[3748]另类椭圆
2025年2月广东省深圳市高三一模数学试卷 #11
已知 $O(0,0),A(a,0),B(a,1),C(0,1),D(0,-1)$，其中 $a\neq 0$．点 $M,N$ 分别满足 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{ON}=(1-\lambda)\overrightarrow{OA}$，其中 $0<\lambda<1$，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 交于点 $P$，则（ ）
A．当 $\lambda=\dfrac 1 2$ 时，直线 $CM$ 与直线 $DN$ 斜率乘积为 $-\dfrac 1{a^2}$
B．当 $a=-1$ 时，存在点 $P$，使得 $|DP|=2$
C．当 $a=2$ 时，$\triangle PAC$ 面积最大值为 $\dfrac{\sqrt 2-1}2$
D．若存在 $\lambda$，使得 $|DP|>2$，则 $a\in(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,+\infty)$
每日一题[3747]模同余
2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #21
给定数列 $A: a_1,a_2,a_3,a_4$ 和序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中 $T_t=\left(d_{t,1},d_{t,2},d_{t,3},d_{t,4}\right)$（$t=1,2,\cdots,s$）满足：
① $d_{t,i}\in\{-1,3\}$（$i=1,2,3,4$）；
② $d_{t,1}+d_{t,2}+d_{t,3}+d_{t,4}=0$．
对数列 $A$ 进行如下 $s$ 次变换：将 $A$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{1,1},d_{1,2},d_{1,3},d_{1,4}$ 后得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项、第 $4$ 项分别加 $d_{2,1},d_{2,2},d_{2,3},d_{2,4}$ 后得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； $\cdots\cdots$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1(A)$，简记为 $\Omega (A)$．
1、已知数列 $A: 7,8,4,4$，写出一个序列 $\Omega: T_1,T_2$，使得 $\Omega (A)$ 为 $5,6,6,6$；
2、对数列 $A: 4,6,7,8$，是否存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$，使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等？若存在，写出一个序列 $\Omega$，若不存在，说明理由；
3、对数列 $A: 3,7,14,m$，若存在序列 $\Omega: T_1,T_2,\cdots,T_s$（$s\leqslant 10$），使得 $\Omega(A)$ 中恰有三项相等，求 $m$ 的所有取值．