Math173

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

2、求 $f(x)$ 的极值；

3、设函数 $g(x)=f(x)+x^2+x$，求证：$g(x)$ 的最小值大于 $\dfrac 1 2$．

继续阅读 →

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $A(0,1)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、设 $B$ 为椭圆 $C$ 的下顶点，动点 $M$ 到坐标原点 $O$ 的距离等于 $1$（$M$ 与 $A,B$ 不重合），直线 $AM$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $N$．记直线 $BM,BN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_1+\lambda k_2=0$ 恒成立？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．

继续阅读 →

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #15

已知曲线 $C: a x^2+b y^2+x y=1$（$a,b$ 为常数），给出下列结论中所有正确结论的序号为_____．

① 曲线 $C$ 关于坐标原点对称；

② 当 $a+b=0$ 时，曲线 $C$ 恒过两个定点；

③ 设 $P,Q$ 为曲线 $C$ 上的两个动点，则存在 $a>0$，$b<0$，使得 $|PQ|$ 有最大值；

④ 记曲线 $C$ 在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为 $S$，则对任意 $a>0$，存在 $b>0$，使得 $S>\dfrac 1{2\sqrt{a b}}$．

继续阅读 →

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}2 $（$x\in[0,8]$），$g(x)=\dfrac 1{x-4}$（$x\in[0,4)\cup (4,8]$），则 $f(3)+f(5)=$ _____；方程 $f(x)=g(x)$ 的所有实数解的和为_____．

继续阅读 →

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #10

各项均为正整数的数列 $2,3,4,a,b,20,30,40$ 为递增数列．从该数列中任取 $4$ 项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对 $(a,b)$ 的个数为（       ）

A．$73$

B．$75$

C．$76$

D．$78$

继续阅读 →

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #21

已知 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 都是无穷数列．若存在正数 $A$，对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\left|a_n-b_n\right|\leqslant A$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 具有关系 $P(A)$．

1、分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系 $P(1)$，直接写出结论；

① $a_n=2 n$，$b_n=n+2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$；

② $c_n=\left(\dfrac 1 2\right)^{n-1}$，$d_n=2\cdot\left(\dfrac 1 3\right)^n+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．

2、设 $a_n=\left(\dfrac 1 3\right)^{n-1}$，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，试判断数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 是否具有关系 $P(A)$．如果是，求出 $A$ 的最小值，如果不是，说明理由；

3、已知 $\left\{a_n\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，若存在数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足：$\left\{b_n\right\}$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 具有关系 $P(1)$，且 $b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$ 中至少有 $100$ 个正数，求 $d$ 的取值范围．

继续阅读 →

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #20

已知 $a>0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{a x}-x-1$．

1、当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

2、若对任意 $x\in[0,+\infty)$，都有 $f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围；

3、求证：存在实数 $a$，使方程 $f(x)+\dfrac 12=0$ 有正实数解．

继续阅读 →

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #19

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $(\sqrt 6,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．一条直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $l$，$M\left(x_0,y_0\right)$ 为直线 $AB$ 与直线 $l$ 的交点．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、若 $x_0=1$，直线 $l$ 是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由．

继续阅读 →

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #15

已知函数 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+1)$，$g(x)=\mathrm e^x-1$，下列结论中正确结论的序号是_____．

① 当 $m=1$ 时，方程 $f(x)=g(x)$ 有且只有一个实数解；

② 当 $m\in(-1,0)$ 时，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)<0$ 或 $g(x)<0$；

③ 当 $m\in(0,1)$ 时，对任意 $x\in(-\infty,-2)$，$f(x) g(x)<0$；

④ 存在 $m\in\mathbb R$，对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)-g(x)<0$．

继续阅读 →

2025 年北京市房山区高三期末数学试卷 #10

已知由正整数组成的集合 $A=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{50}\right\}$，$S(A)$ 表示集合 $A$ 中所有元素的和，$E(A)$ 表示集合 $A$ 中偶数的个数．若 $S(A)=2025$，则 $E(A)$ 的最小值为（       ）

A．$5$

B．$7$

C．$9$

D．$10$

继续阅读 →