Math173

2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #19

已知 $\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，一个 $n$ 元排列记为 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$．如果排列 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$ 满足任意 $k\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，存在 $m\in\mathbb N$，且 $k<m\leqslant n$ 使得 $\left|a_k-a_m\right|=1$，称其为凝聚排列．

1、写出 $n=4$ 时的所有凝聚排列；

2、求证：凝聚排列 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$ 必有 $a_1=1$ 或 $n$；

3、求 $n$ 元凝聚排列的个数．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #18

如图所示，斜三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$D$ 为 $AB$ 的中点，$D_1$ 为 $A_1 B_1$ 的中点，平面 $ABC\perp~\text{平面}~ABB_1 A_1$．

1、求证：直线 $A_1 C\parallel ~\text{平面}~BC_1 D_1$；

2、若三角形 $A_1 B_1 C_1$ 是等边三角形且边长为 $2$，侧棱 $AA_1=\dfrac{\sqrt 6}2$，且异面直线 $BC_1$ 与 $AB_1$ 互相垂直，求异面直线 $A_1 D$ 与 $BC_1$ 所成角正切值；

3、若 $AB=8$，$AC=BC=5$，$\cos\angle A_1 AB=\dfrac{\sqrt{13}}4$，若三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 有内切球，求三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #17

如图所示，已知抛物线 $\Gamma: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 过点 $P(-3,0)$．

1、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相切于点 $Q$，求线段 $QF$ 的长度；

2、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PA}$，直线 $AF$ 与抛物线 $\Gamma$ 交于另一点 $C$，连接 $BC$，记 $BC$ 中点为 $M$，直线 $PM$ 交 $AC$ 于点 $G$，求 $\triangle CMG$ 的面积．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #14

给定有限个正整数满足条件 $T$：每个数都不大于 $7$ 且总和 $S=430$，现将这些数按下列要求分成 $M$ 组，每组数之和不超过 $21$，规定第 $1$ 组先选择数字，使得选择的数字之和尽可能的大，记和为 $S_1$，第 $2$ 组数字在余下的数中选择，使得选择数字之和尽可能的大，记和为 $S_2$，如此继续下去 $\cdots\cdots$，设第 $i$ 组数字之和为 $S_i$，其中 $i\in\{1,2,\cdots,M\}$，对任意满足条件 $T$ 的有限个正整数，则 $M$ 的最大值为_____．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+b$，$a,b\in\mathbb R$．若 $x\in[0,1]$ 时，函数 $f(x)$ 有最大值为 $1$，最小值为 $-1$，则满足条件的 $(a,b)=$ _____．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #11

已知曲线 $C:(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=5$，$\lambda\in\mathbb R$，则下列选项正确的是（       ）

A．存在 $\lambda\in\mathbb R$，使得曲线 $C$ 为圆

B．对任意 $\lambda\in\mathbb R$，曲线 $C$ 都关于点 $(1,1)$ 中心对称

C．当 $\lambda=1$ 时，$x\in[1-\sqrt{10},1+\sqrt{10}]$

D．当 $\lambda=-1$ 时，直线 $y=\dfrac{x+1}2$ 是曲线 $C$ 的一条渐近线

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #19

双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一个顶点在直线 $l: y=x+1$ 上，且其离心率为 $\sqrt 5$．

1、求双曲线 $E$ 的标准方程；

2、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点．已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$．

① 设点 $T$ 的横坐标为 $t$，求 $t$ 的取值范围；

② 设直线 $TP$ 和直线 $TM$ 分别与直线 $x=-1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$，证明：直线 $PN$ 和直线 $MQ$ 的交点在定直线上．

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2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #1 8

有 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军．八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知 $B\sim H$ 这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 $\dfrac 1 2$，$ A$ 运动员与其它运动员对决时，$A$ 获胜的概率为 $\dfrac 2 3$，每场对决没有平局，且结果相互独立．

1、求这八名运动员各自获得冠军的概率；

2、求 $B$ 与 $A$ 对决过且最后获得冠军的概率；

3、求 $B$ 与 $C$ 对决过且最后获得冠军的概率．

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