无穷等差数列\(\{a_n\}\)的各项均为整数，首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，\(S_n\)是其前\(n\)项和，\(3\)，\(21\)，\(15\)是其中的三项，给出下列命题中，真命题有\((\qquad)\)
①对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(99\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；
②对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(30\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；
③存在满足条件的数列\(\{a_n\}\)，使得对任意的\(n\in\mathcal N^*\)，\(S_{2n}=4S_n\)成立．
A．①③
B．①②
C．②③
D．①②③
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right)$($n\in\mathcal N^*$)，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，求证：$S_n>n-\dfrac 52$．
已知抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点\(M(m,0)\)在\(x\)轴的正半轴上，且不与点\(F\)重合，动点\(A\)在抛物线上，且不过点\(O\)．若\(\angle FAM\)恒为锐角，则$m$的取值范围为_____．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目：
对于函数$f(x)$，若存在$x_0\in\mathcal Z$，满足$\left|f(x_0)\right|\leqslant \dfrac 14$，则称$x_0$为函数$f(x)$的一个“近零点”．已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$)有四个不同的“近零点”，则$a$的最大值为_______．
这是我在QQ群中国数学解题研究会看到的问题：
已知数列$\{a_n\}$的各项均为正数，其前$n$项和为$S_n$，且对任意的$m,n\in\mathcal N^*$，都有$(S_{m+n}+S_1)^2=4a_{2m}a_{2n}$．
（1）求$\dfrac{a_2}{a_1}$的值；
（2）求证：$\{a_n\}$为等比数列；
（3）已知数列$\{c_n\},\{d_n\}$满足$|c_n|=|d_n|=a_n$，$p$($p\geqslant 3)$是给定的正整数，数列$\{c_n\},\{d_n\}$的前$p$项的和分别为$T_p,R_p$，如果有$T_{p}=R_{p}$，求证：对任意正整数$k$($1\leqslant k\leqslant p$)，$c_k=d_k$．
2012年北京大学优秀中学生夏令营试题：
某一等差数列的$a_1<0$，$a_{100}\geqslant 74$，$a_{200}<200$，且在区间$\left(\dfrac 12,5\right)$中的项比$\left[20,\dfrac{49}2\right]$中该数列的项少$2$，求数列$\{a_n\}$的通项公式．
编者按 本文作者为赵晚龙，由meiyun编辑，原每日一题地址为每日一题[279]运动中的规律探索．原题的两种方法都是从边界情况入手，本文的解法侧重于直接求出参数范围，通过选择合适的面积公式简化计算．
2013年全国高考数学新课标II卷理科第12题（选择压轴题）：
已知点\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)，\(C(0,1)\)，直线\(y=ax+b\)（$a>0$）将\(\triangle ABC\)分割为面积相等的两部分，则\(b\)的取值范围是( )
A．\((0,1)\)
B．\(\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right)\)
C．\(\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 13\right]\)
D．\(\left[\dfrac 13,\dfrac 12\right)\)
这是前几天一位同学问我的题目．
已知函数$f(x)=\ln (x+1)-a\left({\rm e}^{\frac x2}-\dfrac 14x\right)+4$无零点，求正实数$a$的取值范围．
