每日一题[411]一图在手

设偶函数$f(x)$满足$f(x)=x^3-8,x\geqslant 0$，则$f(x-2)>0$的解集为_____．

正确答案是$(-\infty,0)\cup (4,+\infty)$．

解　根据题目的条件$f(x)$的草图很容易画出：

于是知$$x-2>2 \lor  x-2<-2,$$解得$x>4 \lor  x<0$．

遇到与函数的单调性与奇偶性相关的问题要多借助图象思考，一般情况下不会直接去求解析式，因为解析式往往只是性质的一个载体．另外，画草图过程中注意与解题相关的特征，其它特征可以忽略，比如在函数不等式相关的问题中往往零点与单调性是重要的，不能出错的，但凹凸性通常是不重要的，所以只需要画出正负的示意图即可．

下面给出一道练习：

定义在$\mathcal{R}$上的奇函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减，$f(2)=0$，则不等式$(x-1)f(x)>0$的解集为_____，$xf(x-1)>0$的解集为_____．

答案　$(-2,0)\cup (1,2)$；$(-1,0)\cup (1,3)$；

提示　$y=f(x)$与$y=x-1$的示意图如下：

其中第二个不等式可以先换元，也可以画出$y=f(x-1)$的图象．