每日一题[649]构造对偶式

求$\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$的个位数.


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分析与解 注意到$5+\sqrt{22}$是方程$x^2-10x+3=0$的一个根,因此构造递推数列$$a_{n+2}=10a_{n+1}-3a_n,$$使得$$a_n=\left(5+\sqrt{22}\right)^n+\left(5-\sqrt{22}\right)^n,$$则$a_1=10$,$a_2=94$.因此$$a_{n+2}\equiv -3a_n\pmod{10},$$因此奇数项的个位数均为$0$,偶数项的个位数分别为$4,8,6,2,4,8,6,2,\cdots $,进而$a_{2016}$的个位数为$2$,因此$\left(5+\sqrt{22}\right)^{2016}$的个位数为$1$.


最后给出一道练习:

求$\left(15+\sqrt{215}\right)^{20}+\left(15+\sqrt{215}\right)^{15}$的个位数.

 构造通项为$$a_n=\left(15+\sqrt{215}\right)^n+\left(15-\sqrt{215}\right)^n$$的递推数列$a_{n+2}=30a_{n+1}-10a_n$,于是可得$a_{20}+a_{15}$的个位数为$0$,因此所求的个位数为$9$.

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