求函数$f(x)=\sin x\cdot\left(\sqrt{24+\cos^2x}-\cos x\right)$的值域．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，圆$O$以椭圆$E$的短轴为直径．设$AB$是椭圆$E$的弦且与圆$O$相切，椭圆的一个焦点$F$与弦$AB$在$y$轴同侧，求证：$\triangle FAB$的周长为定值$2a$．
一、三角函数的图象与性质相关问题
（1）要得到函数$y=\sqrt 2\cos x$的图象，只需要将函数$y=\sqrt 2\sin\left(2x+\dfrac {\pi}{4}\right )$的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位
B．横坐标缩短到原来的$\dfrac 12$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位
C．横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{4}$个单位
D．横坐标伸长到原来的$2$倍（纵坐标不变），再向左平移$\dfrac {\pi}{8}$个单位
2011年高考数学湖南理科第16题（填空压轴题）：
对于 \(n\in \mathcal N^*\)，将 \(n\) 表示为 \[n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+\cdots+a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0,\]当 \(i=0\) 时，\(a_i=1\)；当 \(1\leqslant i\leqslant k\) 时，\(a_i\) 为 \(0\) 或 \(1\)．记 \(I(n)\) 为上述表示式中 \(a_i\) 为 \(0\) 的个数（例如\(1=1\times 2^0\)，\(4=1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0\)，故 \(I(1)=0\)，\(I(4)=2\)），则
（1）\(I(12)=\)____；
（2）\(\sum \limits_{n=1}^{127}{2^{I(n)}}=\)____．
1、过椭圆$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$上的一点作圆$x^2+y^2=2$的两条切线，点$A,B$为切点，过$A,B$的直线与$x,y$轴分别相交于$P,Q$两点，则$\triangle POQ$的面积的最小值为_______．
一、判断下列说法是否正确：
（1）函数$f(x)=(x+2)\sqrt{\dfrac {x-2}{x+2}}$为偶函数；
（2）函数$f(x)=\dfrac {x+1}{x-1}$在$\{x\in\mathcal{R}|x\ne 1\}$上单调递减；
（3）如果定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$为奇函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，则它在$\mathcal{R}$上单调递增；
（4）函数$y=f(x+1)$为偶函数，则$f(x+1)=f(-x-1)$；
（5）函数$y=f(x+1)$与函数$y=f(1-x)$关于$y$轴对称．
（6）函数$y=f(x)$的图象关于点$(1,2)$中心对称，则$f(2-x)=4-f(x)$．
这是我在QQ群中国数学解题研究会里看到的题目：
已知$0.301029<\lg 2<0.301030$，$0.477120<\lg 3<0.477121$，求$2000^{1979}$的首位数字．
已知集合$A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$中的元素都是正整数，且$a_1<a_2<\cdots<a_n$，集合$A$具有性质$M$：对任意的$x,y\in A$，且$x\neq y$，有$|x-y|\geqslant \dfrac{xy}{25}$．
（1）判断集合$\{1,2,3,4\}$是否具有性质$M$；
（2）求证：$\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_n}\geqslant \dfrac{n-1}{25}$；
（3）求证：$n\leqslant 9$．
一、集合填空题：
（1）已知集合\(A = \left\{ {x \left|\right.- 2 \leqslant x \leqslant 7} \right\}\)，\(B = \left\{ {x\left|\right.m + 1 < x < 2m-1} \right\}\) ，若\(A \cup B = A\)，则实数\(m\)的取值范围是 ____；
