已知$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$)，求证：最多存在两个整数$s,t$，使得$|f(s)|,|f(t)|$小于$\dfrac a2$．
本期是精选的十个高中常（diao）见（zuan）的解不等式问题，包含高次不等式、分式不等式、无理不等式、绝对值不等式、指数不等式与对数不等式．解不等式是高中数学的基本功，而这个系列的十个不等式从诞生之日（当初被虐的同学有的已经大学毕业了）起，还没有遇到一次被全部做对的，你敢挑战一下吗？
解下列不等式：
（1）$(x+2)(x+1)^2(x-1)^3(x-3)\leqslant 0$；
（2）$\dfrac{x^2+x-2}{x^3+7x^2-8x}\geqslant 0$；
（3）$\dfrac {4}{x-1}\leqslant x-1$；
（4）$\sqrt{x-1}>x-3$；
（5）$\sqrt{2x^2-6x+4}<x+2$；
（6）$(x-1)\sqrt{x+2}\geqslant 0$；
（7）$\left|x^2-4\right |\leqslant x+2$；
（8）$|x+7|+|x-2|<3$；
（9）$\sqrt{0.25^{5-x^2}}<\dfrac {8^x}{2}$；
（10）$\log_{2x}(x^2-5x+6)<1$．
1、已知点$A$是抛物线$y=\dfrac 14x^2$的对称轴与准线的交点，点$F$为抛物线的焦点，点$P$在抛物线上，则$\dfrac{|PF|}{|PA|}$的最小值是_______．
边长为$2$的正三角形$ABC$（包括边界）内有点$P$，$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=1$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$的取值范围是_______．
已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且$a_1=1$，求证：对任意$n\geqslant 2$，均有$\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$是正整数．
一、数列的项与和的关系
1．已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=a^n-1(a\ne 0)$，则数列$\{a_n\}$（ ）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列或者是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
已知$\triangle ABC$中，$B(-1,0)$，$C(1,0)$．设点$G,I$分别为$\triangle ABC$的重心和内心，且$GI\parallel BC$，求$A$点的轨迹方程．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$．$P$是椭圆上一点，直线$F_2M$垂直于$OP$且交线段$F_1P$于点$M$，若$F_1M=2MP$，求椭圆$E$的离心率$e$的取值范围．
一、导数的概念与运算
（1）若函数$f(x)=\dfrac 13x^3-f'(-1)x^2+x+5$，则$f'(1)=$_____；
（2）若函数$f(x)=f'\left(\dfrac {\pi}{4}\right )\cos x+\sin x$，则$f\left(\dfrac {\pi}{4}\right )=$_____．
