此题为2016年帷幕第二次群测试题：
设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2$．设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a -\overrightarrow b$的夹角为$\alpha$，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b- \overrightarrow a$的夹角为$\beta$，有$$4\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha -\beta )+3=0.$$记$\overrightarrow c= 2\overrightarrow b-\overrightarrow a$，则$\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{\left|\overrightarrow c\right|}$的最小值为_______．
已知圆$E:(x-2)^2+y^2=3$，设直线$l_1:x-my-1=0$交圆$E$于$A,C$两点，直线$l_2:mx+y-m=0$交圆$E$于$B,D$两点．线段$AB,CD$分别位于$x$轴的上方和下方．当$CD$的斜率为$-1$时，求线段$AB$的长．
1、以$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$为焦点的双曲线与直线$y=x-1$有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为_______．
设$P-ABCD$是一个高为$3$，底面边长为$2$的正四棱锥，$M$是棱$PC$的中点，过$AM$作平面与线段$PB,PD$分别交于$E,F$（可以是线段的端点）．试求四棱锥$P-AEMF$的体积的最大值与最小值．
已知$x,y\geqslant 0$，且$(1+x)(1+y)=2$，求证：$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$．
一、直线的基本量与位置关系
（1）直线$x\cos\theta +\sqrt 3 y-2=0(\theta\in\mathcal{R})$的倾斜角的范围是_____；
（2）已知两点$A(-1,4),B(3,2)$，过点$P(2,1)$的直线$l$与线段$AB$有公共点，则$l$的倾斜角的取值范围是_____，斜率的取值范围是_____；
（3）若直线$x+2ay-1=0$与直线$(3a-1)x-ay-1=0$平行，则$a=$_____；
（4）若直线$ax+(1-a)y=3$与直线$(a-1)x+(2a+3)y=2$垂直，则$a=$_____；
（5）已知直线$l$与$A(3,3)$和$B(5,2)$的距离都相等，且过直线$l_1:3x-y-1=0$与$l_2:x+y-3=0$的交点，则直线$l$的方程为_____．
如图，圆$O$的半径为$1$，$OA=\dfrac 12$．设$B,C$是圆$O$上任意两点，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$的取值范围是_______．
1、已知函数$f(x)=x^2+bx+c$，集合$A,B$分别为函数$y=f(x)$和函数$y=f(f(x))$的零点构成的集合，若$A\cap B\neq\varnothing$，$A\cup B\neq A$，则实数$b$的取值范围是_______．
1、已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_9<0$，且$a_8>|a_9|$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_na_{n+1}a_{n+2}$($n\in\mathcal N^*$)，$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，当$S_n$取得最大值时，$n$的值为_______． 继续阅读
