每日一题[457]三角恒等式

已知$x,y\geqslant 0$,且$(1+x)(1+y)=2$,求证:$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$.


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分析与解    条件即$$x+y+xy=1.$$联想到三角恒等式$$\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2+\tan\dfrac B2\tan\dfrac C2+\tan\dfrac C2\tan\dfrac A2=1,$$其中$A,B,C$为三角形$ABC$的三个内角.因此可以取$C=\dfrac{\pi}2$,$x=\tan\dfrac A2$,$y=\tan\dfrac B2$,且$A+B=\dfrac{\pi }2$,于是$$LHS=\dfrac{1}{\cos\dfrac A2\cdot\cos\dfrac B2}=\dfrac{2}{\cos\dfrac{A+B}2+\cos\dfrac{A-B}2}\geqslant \dfrac{2}{cos\dfrac{\pi}4+1}=4-2\sqrt  2,$$因此原命题得证.

   这一三角代换是处理形如$ab+bc+ca=1$且$a,b,c>0$的代数条件的重要代换.下面再给出两种常规思路:

法二(由解辉提供)

由题目条件得到$$y=\dfrac {1-x}{1+x},$$于是$$1+y^2=1+\left(\dfrac {1-x}{1+x}\right )^2=\dfrac {2(1+x^2)}{(1+x)^2}.$$代入所证不等式左边得到$$\begin{split} LHS=&\dfrac {\sqrt 2\cdot(1+x^2)}{1+x}\\=&\sqrt 2\left(1+x+\dfrac {2}{1+x}-2\right )\\\geqslant &\sqrt 2(2\sqrt 2-2).\end{split} $$当且仅当$x=\sqrt 2-1$时取到等号.

法三(由大雨瓢泼提供)

令$s=1+x$,$t=1+y$,则有$$s>1,t>1,st=2.$$将$$x=s-1,y=t-1$$代入所证不等式左边有$$\begin{split} LHS=&\sqrt{1+(s-1)^2}\cdot\sqrt{1+(t-1)^2}\\=&\sqrt{2(s+t-2)^2}\\\geqslant &\sqrt 2\cdot(2\sqrt 2-2)\\=&4-2\sqrt 2.\end{split} $$当且仅当$s=t=\sqrt 2$,即$x=y=\sqrt 2-1$时取到等号.

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