已知$x,y>0$，求证：$\left|\dfrac{\sin x}x-\dfrac{\sin y}y\right|\leqslant \sqrt{2\left|\dfrac 1x-\dfrac 1y\right|}$．
已知$O$为锐角三角形$ABC$的外心，$A=\dfrac{\pi}3$，且$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，求$2x-y$的取值范围．
若四面体$ABCD$中，$\angle CAD=\alpha$，$\angle CBD=\beta$，二面角$A-CD-B$的大小为$\theta$，$CD=2m$，则其外接球半径$$R=\dfrac{m}{\sin\alpha\sin\beta\sin\theta}\cdot\sqrt{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\theta)^2}.$$
1、如下图的矩阵，按斜线分组，第一组为$(1)$，第二组为$(2,3)$，第三组为$(4,6,5)$，$\cdots $，那么第$n$组中的$n$个数的和为_______．$$\begin{matrix}1&3&5&7&9&\cdots \\ 2&6&10&14&18&\cdots \\ 4&12&20&28&36&\cdots \\ 8&24&40&56&72&\cdots \\ 16&48&80&112&144&\cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{matrix}$$
已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$O,A$两点处取得极值，其中$O$是坐标原点，$A$在曲线$y=x^2\sin x+x\cos x$($x\in\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2{\pi}}3\right]$)上，则曲线$y=f(x)$的切线的斜率的最大值是_______．
设数列$\{a_n\}$满足：$a_1=2$，$a_{n+1}=ca_n+\dfrac 1{a_n}$，其中$c$为正实数，$n\in\mathcal N^*$．记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$．
（1）证明：当$c=2$时，$2^{n+1}-2\leqslant S_n\leqslant 3^n-1$($n\in\mathcal N^*$)；
（2）求实数$c$的取值范围，使得数列$\{a_n\}$是单调递减数列．
1、已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为$F_2$，$M,N$是双曲线$C$上关于坐标原点对称的两点，且$M$在$y$轴右侧．连接$MF_2$并延长交双曲线$C$于点$P$，连接$NF_2,PN$，若$\triangle NF_2P$是以$\angle NF_2P$为顶角的等腰直角三角形，则双曲线$C$的离心率为_______．
已知$\sqrt{S_n}=\lambda a_n+c$，$a_n>0$，$a_1+a_3=2a_2$，求证：$\{a_n\}$是等差数列．
