[易错题汇编](十)直线与圆篇

一、直线的基本量与位置关系

(1)直线$x\cos\theta +\sqrt 3 y-2=0(\theta\in\mathcal{R})$的倾斜角的范围是_____;

(2)已知两点$A(-1,4),B(3,2)$,过点$P(2,1)$的直线$l$与线段$AB$有公共点,则$l$的倾斜角的取值范围是_____,斜率的取值范围是_____;

(3)若直线$x+2ay-1=0$与直线$(3a-1)x-ay-1=0$平行,则$a=$_____;

(4)若直线$ax+(1-a)y=3$与直线$(a-1)x+(2a+3)y=2$垂直,则$a=$_____;

(5)已知直线$l$与$A(3,3)$和$B(5,2)$的距离都相等,且过直线$l_1:3x-y-1=0$与$l_2:x+y-3=0$的交点,则直线$l$的方程为_____.


答案 (1)$\left[0,\dfrac {\pi}{6}\right ]\cup\left[\dfrac {5\pi}{6},\pi\right )$;

(2)$\left[\dfrac {\pi}{4},\dfrac {3\pi}{4}\right]$,$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$;

(3)$0$或$\dfrac 16$;

(4)$1$或$-3$;

(5)$x-6y+11=0$或$x+2y-5=0$.


二、直线与圆

(1)已知圆的方程为$x^2+y^2+ax+2y+a^2=0$,已知过点$A(1,2)$可以作两条圆的切线,则$a$的取值范围是_____;

(2)一直线过点$\left(-3,-\dfrac 32\right )$,且被圆$x^2+y^2=25$截得的弦长为$8$,则此弦所在的直线方程为____________;

(3)已知圆的方程为$x^2+y^2+8x+12=0$,在此圆的所有切线中,横纵截距相等的条数有_____;

(4)已知直线$y=x+b$与曲线$y=\sqrt{1-x^2}$有两个公共点,则实数$b$的取值范围是_____.

答案 (1)$\left(-\dfrac 23\sqrt 3,\dfrac 23\sqrt 3\right )$;

(2)$x=-3$或$3x+4y+15=0$;

(3)$4$;

(4)$[1,\sqrt 2)$.


三、轨迹问题

(1)等腰三角形顶点是$A(4,2)$,底边一个端点是$B(3,5)$,另一个端点$C$的轨迹方程是________________;

(2)直线$l:y=k(x-5)$与圆$O:x^2+y^2=16$相交于$A,B$两点,当$k$变动时,弦$AB$的中点$M$的轨迹方程是______________.

答案 (1)$(x-4)^2+(y-2)^2=10,(x,y)\ne (3,5)\land(x,y)\ne (5,-1)$;

(2)$x^2+y^2-5x=0,0\leqslant x<\dfrac {16}{5}$.

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