指对混合不等式的证明技巧(一)

        有时我们会遇到不含参数的指数(通常为${\rm e}^x$)和对数(通常为$\ln x$)混合的不等式.这种不等式由于其特殊结构导致求导后无法求出极值点而无法利用常规方法求出其极值.这类不等式的证明通常是先大致估计极值点,然后将包含指数的部分放缩为多项式,进而将问题转化为对数不等式,再利用导数证明.下面通过三道例题说明这一思路.

例题一    求证:${\rm e}^x-\ln x>2.3$.

证明    设$LHS=f(x)$,则$f(x)$的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,$$于是函数$f(x)$的极小值点在$\left(\dfrac 12,1\right)$内.利用${\rm e}^x$在$x=1$处的切线放缩,则可得$${\rm e}^x-\ln x\geqslant {\rm e}x-\ln x,$$而右侧函数的极小值点为$x={\rm e}^{-1}$,因此可得$${\rm e}^x-\ln x>2,$$放缩过头了.

改用$x=\dfrac 12$处切线,则可得$${\rm e}^x-\ln x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac 12\sqrt{\rm e}-\ln x,$$于是可得右侧函数的极小值点为$x={\rm e}^{-\frac 12}$,因此可得$${\rm e}^x-\ln x>\dfrac 32+\dfrac 12\sqrt{\rm e}>2.3,$$原命题得证.

即“每日一题[441] 以直代曲”.


例题二    求证:${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>3$.

证明    设$LHS=f(x)$,则$f(x)$的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-\dfrac 2x,$$于是其极小值点在$(0,1)$内.考虑到$$({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})'={\rm e}^x-{\rm e}^{-x},$$而$$({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})''={\rm e}^x+{\rm e}^{-x},$$于是考虑辅助不等式$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}\geqslant 2+x^2,$$这个不等式不难证明,此处从略.

利用辅助不等式易得$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\ln x>2+x^2-2\ln x,$$而右侧函数的极小值点为$x=1$,因此原命题得证.


例题三    求证:${\rm e}^{x-1}\cdot \ln x+\dfrac 3x>\dfrac 52$.

证明    设$LHS=f(x)$,则$f(x)$的导函数$$f'(x)={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 1x\right)-\dfrac{3}{x^2},$$于是其极小值点在$(1,2)$内.

先证明$x>1$的情形.

考虑到$$\left({\rm e}^{x-1}\cdot \ln x\right)'={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 1x\right),$$于是可以得到辅助不等式(证明从略)$${\rm e}^{x-1}\cdot \ln x\geqslant x-1,$$于是$$f(x)\geqslant x-1+\dfrac 3x\geqslant 2\sqrt 3-1,$$放缩过头了.

转而考虑到$$\left({\rm e}^{x-1}\cdot \ln x\right)''={\rm e}^{x-1}\left(\ln x+\dfrac 2x-\dfrac{1}{x^2}\right),$$于是可以得到辅助不等式(证明从略)$${\rm e}^{x-1}\cdot \ln x\geqslant x-1+\dfrac 12(x-1)^2,$$于是$$f(x)\geqslant x-1+\dfrac 12(x-1)^2+\dfrac 3x,$$利用分析法,可得$$x-1+\dfrac 12(x-1)^2+\dfrac 3x>\dfrac 52$$等价于$$x^2+\dfrac 6x>6,$$根据均值不等式,这显然成立.

再证明$0<x\leqslant 1$的情形.

此时令$t=\dfrac 1x$,$t\geqslant 1$,则$$LHS=3t-{\rm e}^{\frac 1t-1}\cdot \ln t\geqslant 3t- (t-1)\geqslant 3,$$于是不等式成立.

综上所述,原命题得证.


最后对解题细节做一个总结:

1、先对原来的函数的极值点有一个大致的估计

2、优先选择好计算的位置进行切线放缩;

3、当切线放缩效果不理想时,可以移动放缩位置

4、当切线放缩效果不理想或者移动放缩位置使得问题变得不可解时,可以利用泰勒展开进行高次多项式放缩;

5、处理对数不等式的时候别忘了清君侧

6、证明不等式(尤其是多项式不等式)的时候可以利用分析法


最后留两道练习题.

练习1、求证:$x^2{\rm e}^x-\ln x>1$.

练习2、求证:当$x>0$时,$({\rm e}^x-1)\cdot \ln (1+x)>x^2$.

提示

练习1、${\rm e}^x\geqslant {\rm e}x$.

练习2、${\rm e}^x\geqslant 1+x+\dfrac 12x^2$.

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指对混合不等式的证明技巧(一)》有 1 条评论

  1. 18238569816说:

    为什么要先估计极值点,实在想不明白,望老师解答。

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