已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的长轴上一点$M(m,0)$，垂直于$x$轴直线$l$与$x$轴交于点$N\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$．过$M$且斜率不为$0$的直线与椭圆交于$A,B$两点，分别过$A,B$作直线$l$的垂线，垂足为$A_1,B_1$．设$\triangle MAA_1$，$\triangle MBB_1$，$\triangle A_1B_1M$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$，求证：$\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$为定值．
已知$\dfrac{\cos^3\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin^3\alpha}{\sin\beta}=1$，求证：$\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}-\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\right)\left(\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}+\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}+1\right)=0$．
若离散型随机变量$X,Y$满足$2\leqslant X\leqslant 3$，且$XY=1$，则$E(X)E(Y)$的取值范围为_______．
已知函数$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$，则关于$x$的方程$\left|f(x+1)-f(x)\right|=1$的实数解的个数为_______．
已知$a,b\geqslant 0$，$a+b=1$，则$3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$的最大值是______，最小值是_______．
已知$a,b,c$是不全为$0$的实数，求证：$5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$．
已知函数$f(x)=\sin x+\tan x$，项数为$2m+1$的等差数列$\{a_n\}$满足$a_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且公差$d\ne 0$，若$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})=0$，求证：$a_{m+1}=0$．
已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{\pi}3$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=5$，向量$\overrightarrow c-\overrightarrow a,\overrightarrow c-\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{2\pi}3$，$\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|=2\sqrt 3$，求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$的最大值．
已知$P$是单位圆$O$上一点，$A(1,0)$，$B(0,1)$，直线$PA$与$y$轴交于点$M$，直线$PB$与$x$轴交于点$N$，求证：$AN\cdot BM$为定值．
