练习题集[89]基础练习

1.已知$E,F$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)的左、右焦点,$F$也是抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点,且两条曲线交于不同的两点$A,B$,若$5|AF|=4|BE|$,则双曲线的离心率为_______.

2.在斜$\triangle ABC$中,$a,b,c$分别是角$A,B,C$所对的边,$\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}=1$,则$\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=$________.

3.将棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$切去四个三棱锥$A-A_1BD$,$B-B_1AC$,$C-C_1BD$,$D-D_1AC$,则剩余部分的体积为_______.

4.已知函数$f(x)=\sqrt 3\ln x$($x\geqslant 1$),若将其图象绕原点逆时针旋转$\theta$($\theta$为锐角)后,所得的图象仍然是某个函数的图象,则$\tan\theta$的最大值为_______.

5.设$f(x),g(x)$是定义在$[0,1]$上的函数,求证:存在$x,y\in [0,1]$,使$\left|xy-f(x)-g(y)\right|\geqslant \dfrac 14$.

6.已知抛物线$y^2=2x$与圆$(x-a)^2+y^2=4$,讨论两条曲线的公共点个数.

7.已知$n$是不小于$2$的正整数,求证:$\displaystyle \sum_{k=2}^n\ln\dfrac{k-1}{k+1}>\dfrac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$.


参考答案

1.$4+\sqrt 7$.

2.$3$.

化切为弦,然后依次应用正弦定理和余弦定理.

3.$4$.

注意到每两个三棱锥的公共部分都是一个体积为$\dfrac 13$的小三棱锥,利用容斥原理.

4.$\dfrac{\sqrt 3}3$.

注意将旋转图象转化为旋转坐标轴.问题转化成将坐标轴绕着原点顺时针旋转,使得原来的函数图象在新的坐标系中仍然是某个函数的图象,所以将$y$轴转到与点$(1,0)$处的切线平行的位置时,对应最大的旋转角度.

5.用反证法,取$(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$,然后四式相加应用绝对值不等式即推出矛盾.

6.当$a<-2$或$a>\dfrac 52$时,$0$个公共点;
当$a=-2$时,$1$个公共点;
当$-2<a<2$或$a=\dfrac 52$时,$2$个公共点;
当$a=2$时,$3$个公共点;
当$2<a<\dfrac 52$时,$4$个公共点.

7.由于当$0<x<1$时,$\ln x>\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$,于是$$LHS=\ln\dfrac{2}{n(n+1)}>\sqrt{\dfrac{2}{n(n+1)}}-\sqrt{\dfrac{n(n+1)}2}=RHS,$$于是原命题成立.

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练习题集[89]基础练习》有一条回应

  1. zyounan123说:

    第7题的LHS打成LSH了……

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