每日一题[807]正方体的截面

如图,已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$,$E,F$分别是棱$AD,B_1C_1$上的动点,设$AE=x$,$B_1F=y$.若棱$DD_1$与平面$BEF$有公共点,则$x+y$的取值范围是________.


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正确答案是$[1,2]$.

法一 几何法

设法作出完整的截面$BEF$,则该截面与上底面$A_1C_1$的交线与直线$BE$平行.过$F$作与$BE$平行的直线$l$,若直线$l$与棱$A_1D_1$相交且交点不为$D_1$,则截面$BEF$为平行四边形,棱$DD_1$与平面$BEF$没有公共点;若直线$l$与棱$A_1D_1$的延长线相交,则截面$BEF$为五边形,棱$DD_1$与平面$BEF$有公共点,因此可得$x+y\geqslant 1$.又$0\leqslant x,y\leqslant 1$,于是$x+y$的取值范围是$[1,2]$.

法二 坐标法

建立空间直角坐标系$D-ACD_1$,则$E(1-x,0,0)$,$B(1,1,0)$,$F(1-y,1,1)$,于是\[\overrightarrow {EB}=(x,1,0),\overrightarrow {FB}=(y,0,-1),\]可得平面$BEF$的法向量为$(-1,x,-y)$,因此平面$BEF$的方程为\[-r+xs-yt=x-1.\]根据题意,当$r=s=0$时,$t\in\left[0,1\right]$,于是$0\leqslant \dfrac{1-x}{y}\leqslant 1$,解得$x+y\geqslant 1$.又$0\leqslant x,y\leqslant 1$,于是$x+y$的取值范围是$[1,2]$.

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