每日一题[872]居高临下

如图,已知$\triangle ABC$的面积为$2$,$D,E$分别为边$AB,AC$上的点,$F$为线段$DE$上一点,设$\dfrac{AD}{AB}=x,\dfrac{AE}{AC}=y,\dfrac{DF}{DE}=z,$ 且 $y+z-x=1$,则$\triangle BDF$面积的最大值为(  )

A.$\dfrac{8}{{27}}$
B.$\dfrac{{10}}{{27}}$
C.$\dfrac{{14}}{{27}}$
D.$\dfrac{{16}}{{27}}$


正确答案是D.

分析与解 如图,连接$BE$,

结合 $\dfrac{AD}{AB}=x,\dfrac{AE}{AC}=y,\dfrac{DF}{DE}=z,$,则 \[\begin{split} S_{\triangle BDF}=&z\cdot S_{\triangle BDE}=\left( {1 - x} \right)z\cdot S_{\triangle BAE}\\=&\left( {1 - x} \right)yz\cdot S_{\triangle ABC}= 2\left( {1 - x}\right)yz\\\leqslant &2{\left( {\frac{{1 - x + y + z}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{16}}{{27}}.\end{split}\] 因此,$\triangle BDF$ 的面积的最大值为 $\dfrac{16}{27}$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复