设$\triangle ABC$的三边$a,b,c$ 上的高分别为$h_a,h_b,h_c$ ，满足$3\cdot\dfrac{a}{{{h_a}}} - \dfrac{b}{{{h_b}}} + 6\cdot\dfrac{c}{{{h_c}}} = 6$．
(1)若$\triangle ABC$的面积为$S$，试证$S = \dfrac{1}{{12}}(3{a^2} - {b^2} + 6{c^2})$；
(2)用$b,c$ 表示$\sin \left( {A + \dfrac{\pi}{4}} \right)$，并求$A$的大小；
(3)根据上述解题过程所得到的$\triangle ABC$结论，请你设计一个与三角形有关的类似结论，并证明你所给的结论．
数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明：
(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；
(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$，$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$．
已知等比数列$\{a_n\}$的首项${a_1} = 1025$，公比$q = - \dfrac{1}{2}$，求${\Pi _n} = {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$的最大值．
已知$f\left( x \right)$为一元二次函数，且$a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$．
对于函数$f(x)$，方程$f(x)=x$的根称为$f(x)$不动点．
(1)证明：若$f\left( {f\left( x \right)} \right)$有唯一不动点，则$f\left( x \right)$也有唯一不动点．
(2)已知函数$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$（$a \ne 0$），且$f\left( x \right) $没有不动点．那么$f\left( {f\left( x \right)} \right) $是否有不动点？证明你的结论．
已知椭圆$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，过椭圆左顶点$A\left( -a,0 \right)$的直线$l$与椭圆交于$Q$，与$y$轴交于$R$，过原点与$l$平行的直线与椭圆交于$P$．求证：$AQ$，$\sqrt{2}OP$，$AR$成等比数列．
有编号为①，②的$2$个红球，编号为③，④的$2$个黑球，编号为⑤，⑥，⑦的$3$个白球．将这$7$个球放入编号为$A,B,C,D,E$的$5$个盒中，要求每个盒中放$1$个或$2$个球，而且同色球不能放入同一盒中，则不同的放置方式共有______种．
设$a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\ln n$．
(1) 求证：$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n$存在；
(2) 记$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}a_n=C$，讨论级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n-C\right)$的敛散性．
已知$f(x)=x{\rm e}^x+ax^2-x$，当$x\geqslant 0$时，$f'(x)-f(x)\geqslant (4a+1)x$恒成立，求实数$a$的取值范围．
已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$且垂直于$x$轴的直线与该双曲线的左支交于$A,B$两点，$AF_2,BF_2$分别交$y$轴于$P,Q$两点，若$\triangle PQF_2$的周长为$12$，求$ab$取得最大值时双曲线的离心率$e$．
