2012年北京市海淀区高考二模理科数学第20题（压轴题）：
将一个正整数表示为$a_1+a_2+\cdots +a_p$($p\in\mathcal N^*$)的形式，其中$a_i\in\mathcal N^*$($i=1,2,\cdots ,p$)，且$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_p$，记所有的这种表示法的种数为$f(n)$(如$4=4$，$4=1+3$，$4=2+2$，$4=1+1+2$，$4=1+1+1+1$，故$f(4)=5$)．
(1) 计算$f(3)$，$f(5)$；
(2) 求证：$2f(n+1)\leqslant f(n)+f(n+2)$，其中$n\in\mathcal N^*$；
(3) 当$n\geqslant 6$且$n\in\mathcal N^*$时，求证：$f(n)\geqslant 4n-13$．
设动直线$y=kx+m(k,m\in\mathcal{Z})$与椭圆$\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$A,B$，与双曲线$\dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$C,D$，且$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {0}$，则符合条件的直线共有______条．
已知抛物线$y^2=2px$的内接$\triangle ABC$的三条边所在的直线均与抛物线$x^2=2py$相切，求证：$A,B,C$三点的纵坐标之和为$0$．
(2013年海淀高三期末)已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，动点$P$在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$表面上运动，且$PA=r$($0<r<\sqrt 3$)．记点$P$的轨迹的长度为$f(r)$．
(1) 求$f\left(\dfrac 12\right)$；
(2) 求出关于$r$的方程$f(r)=k$的解的个数的所有可能的值，并说明理由．
已知$P$为椭圆$E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$的下顶点，过$P$作互相垂直的两条直线$l_1,l_2$，直线$l_1$与圆$x^2+y^2=4$相交于$A,B$两点，直线$l_2$与椭圆$E$交于不同于$P$的另外一点$Q$，求$\triangle QAB$面积的取值范围．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，$M$为椭圆内不在坐标轴上一点．过$M$作不过原点的直线交椭圆于$A,B$两点，$M$恰为$AB$的中点，过$M$作$AB$的垂线交椭圆于$C,D$两点，$N$为弦$CD$的中点．记$O$到直线$AB$的距离为$d$，求$\dfrac{d}{|MN|}$的最大值． 继续阅读
1．已知函数$f(x)=\begin{cases} -x^3-(2a-2)x,&x\leqslant 0,\\ x^3-(3a+3)x^2+ax,&x>0,\end{cases} $若曲线$y=f(x)$在点$P_i(x_i,y_i)$($i=1,2,3$)处的切线互相平行，其中$x_1,x_2,x_3$互不相等，则$a$的取值范围是_______． 继续阅读
