每日一题[683]构造与论证

2012年北京市海淀区高考二模理科数学第20题(压轴题):

将一个正整数表示为$a_1+a_2+\cdots +a_p$($p\in\mathcal N^*$)的形式,其中$a_i\in\mathcal N^*$($i=1,2,\cdots ,p$),且$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_p$,记所有的这种表示法的种数为$f(n)$(如$4=4$,$4=1+3$,$4=2+2$,$4=1+1+2$,$4=1+1+1+1$,故$f(4)=5$).
(1) 计算$f(3)$,$f(5)$;
(2) 求证:$2f(n+1)\leqslant f(n)+f(n+2)$,其中$n\in\mathcal N^*$;
(3) 当$n\geqslant 6$且$n\in\mathcal N^*$时,求证:$f(n)\geqslant 4n-13$.


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分析与解 (1) $f(3)=3$,$f(5)=7$.

(2) 只需要证明$$f(n+2)-f(n+1)\geqslant f(n+1)-f(n),n\in\mathcal N^*.$$注意到在$n$的所有表示法前加上“$1+$”就可以得到$n+1$的表示法中所有以$1$开头的表示法,因此$n+1$的表示法中以$1$为第一项的有$f(n)$种,不以$1$开头的有$f(n+1)-f(n)$种;

类似的,$n+2$的表示法中,不以$1$开头的有$f(n+2)-f(n+1)$种.

而在$n+1$的表示法中所有不以$1$开头的表示法中最后一项加上$1$就可以得到$n+2$的表示法中不以$1$开头的表示法,且这些表示法均不相同,因此命题得证.

(3) 当$n=6$时,有$f(6)=11$,命题成立.

接下来直接证明$$n\geqslant 6,f(n+1)-f(n)\geqslant 4.$$而$n+1$的表示法中不以$1$开头的表示中包含$$n+1;2,n-1;3,n-2;2,2,n-3.$$或者利用第(2)小题的结果,得到$$f(n+1)-f(n)\geqslant f(6)-f(5)=4,$$

累加即得所证不等式.

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