每日一题[682]化复杂计算于无形

设动直线$y=kx+m(k,m\in\mathcal{Z})$与椭圆$\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$A,B$,与双曲线$\dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$交于不同的两点$C,D$,且$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {0}$,则符合条件的直线共有______条.


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分析与解 答案是$9$.

由$\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {0}$知$AB$与$CD$的中点重合,记为$M(x_0,y_0)$.由椭圆与双曲线的垂径定理知,当$k\ne 0$且$x_0\ne 0$时,有$$k\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-\dfrac {12}{16}=\dfrac {12}{4},$$无解,所以只可能有$k=0$或$x_0=y_0=0$.

当$k=0$时,有$m\in(-2\sqrt 3,2\sqrt 3)$,所以$m=\pm 3,\pm 2,\pm 1,0$;

当$k\ne 0$时,直线过原点,所以$m=0$,结合双曲线的渐近线为$y=\pm\sqrt 3x$知,$k=\pm 1$.

综上知,存在$9$条直线满足要求.

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