Math173

若对任意实数 $x,y\in [0,+\infty)$，$4ax\leqslant {\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}+2$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是（　　）

A．$\dfrac 14$
B．$\dfrac 12$
C．$1$
D．$2$

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如图，某市在海岛 \(A\) 上建了一水产养殖中心．在海岸线上有相距 \(70\) 公里的 \(B,C\) 两个小镇，并且 \(AB=30\) 公里，\(AC=80\) 公里，已知 \(B\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(3\) 百人，\(C\) 镇在养殖中心工作的员工有 \(5\) 百人．现欲在 \(BC\) 之间建一个码头 \(D\)，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 \(1:2\)．

（1）求 \(\sin\angle ABC\) 的大小；

（2）设 \(\angle ADB=\theta\)，试确定 \(\theta\) 的大小，使得运输总成本最少．

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在锐角 \(\triangle ABC\) 中，角 \(A,B,C\) 所对的边分别为 \(a,b,c\)，且\[\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.\]

（1）求证：\(\cos B=2\cos^2A-1\)；

（2）若 \(m<\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}<n\)，求 \(n-m\) 的最小值．

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已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-\dfrac 12ax^2\)（\(x>0\)）．

（1）当 \(a=2\) 时，求证：\(f(x)>1\)；

（2）是否存在正整数 \(a\)，使得 \(f'(x)\geqslant x^2\ln x\) 对一切 \(x>0\) 恒成立？若存在，求出 \(a\) 的最大值；若不存在，请说明理由．

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点 \(P(x,y)\) 是曲线 \(C:y=\dfrac 1x\)（\(x>0\)）上的一个动点，曲线 \(C\) 在点 \(P\) 处的切线与 \(x\) 轴、\(y\) 轴分别交于 \(A,B\) 两点，点 \(O\) 是坐标原点，则（　　）

A．\(|PA|=|PB|\)
B．\(\triangle OAB\) 的面积为定值
C．曲线 \(C\) 上存在两点 \(M,N\) 使得 \(\triangle OMN\) 是等边三角形
D．曲线 \(C\) 上存在两点 \(M,N\) 使得 \(\triangle OMN\) 是等腰直角三角形

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已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-\dfrac ax\)，\(a\) 为实常数．

（1）当 \(a>0\) 时，求函数 \(f(x)\) 的单调区间；

（2）若 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上存在极值点，且极值大于 \(\ln 4+2\)，求 实数 \(a\) 的取值范围．

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如图，在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，\(A(-1,0)\)，\(B(1,0)\)．点 \(C\) 是单位圆上一点，且其纵坐标大于 \(0\)，延长 \(AC\) 到 \(P\)，使 \(CP=CB\)．当点 \(C\) 从 \(B\) 点运动到 \(A\) 点时，点 \(P\) 运动的轨迹长度为________．

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已知函数 \(f(x)=x|x-4|\)（\(x\in\mathbb R\)），若存在正实数 \(k\)，使方程 \(f(x)=k\) 在区间 \((2,+\infty)\) 上有两个实数解 \(a,b\)，其中 \(a<b\)，则 \(ab-2(a+b)\) 的取值范围是_________．

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已知 \[M=\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}},\]求不超过 \(M\) 的最大整数．

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已知 \(\triangle ABC\) 的三个内角分别为 \(A,B,C\) 且 \(C\geqslant \dfrac{\pi}3\)，求证：\[\Big(a+b\Big)\Big(\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\Big)\geqslant 4+\dfrac{1}{\sin\dfrac C2}.\]

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