在直角坐标系中，椭圆$C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，其中$F_2$也是抛物线$C_2:y^2=4x$的焦点，点$P$为$C_1$与$C_2$在第一象限的交点，且$\left|PF_2\right|=\dfrac 53$．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过$F_2$且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于$M,N$两点，线段$OF_2$上存在点$T(t,0)$使得以$TM,TN$为邻边的四边形是菱形，求$t$的取值范围．
已知$f(x)=\left|x{\rm e}^x\right|$，又$g(x)=f^2(x)-tf(x)$($t\in\mathbb R$)，若满足$g(x)=-1$的$x$有四个，则$t$的取值范围是________．
已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2 }+\dfrac{y^2}{b^2 }=1\left(a>b>0\right) $ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{ 2} $，其短轴的下端点在抛物线 $x^2=4y $ 的准线上．设 $ O$ 为坐标原点，$ M$ 是直线 $l:x=2 $ 上的动点，$ F$ 为椭圆的右焦点，过点 $F $ 作 $OM $ 的垂线与以 $OM $ 为直径的圆 $C_2 $ 相交于 $P$，$Q $ 两点，与椭圆 $C_1 $ 相交于 $ A$，$B$ 两点，如图所示．
(1)求椭圆 $C_1 $ 的方程．
(2)若 $\left|PQ\right|=\sqrt{6} $，求圆 $C_2 $ 的方程；
(3)设 $C_2 $ 与四边形 $OAMB $ 的面积分别为 $S_1,S_2 $，若 $S_1=\lambda S_2 $，求 $\lambda $ 的取值范围．
如图，四边形 $ABCD$ 和 $ADPQ$ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 $M$ 在线段 $PQ$ 上，$E,F$ 分别为 $AB,BC$ 的中点．设异面直线 $EM$ 与 $AF$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha$ 的最大值为________．
已知$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$a+c=2b$，求证：$\tan\dfrac A2\cdot \tan\dfrac C2\geqslant \tan^2\dfrac B2$．
将正偶数按照如下方式进行分组：
\[(2),\ (4,6),\ (8,10,12),\ \cdots,\]设第$n\ \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$组数的和为$a_n$，求数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$．
在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱$AB$的中点为$P$．若光线从$P$出发，依次经过三个侧面$BCC_1B_1$，$DCC_1D_1$，$ADD_1A_1$反射后，落到侧面$ABB_1A_1$(不包括边界)，求入射光线$PQ$与侧面$BCC_1B_1$所成角的正切值的取值范围．
已知$a,b\in \mathbb R$且$0\leqslant a+b\leqslant 1$，函数$f(x)=x^2+ax+b$在区间$\left[-\dfrac 12,0\right]$上至少存在一个零点，求$a-2b$的取值范围．
定义$g(n)$为自然数$n$中所有因数中的最大奇数，求$$M(n)=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)$$的值．
在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，$C\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且$\triangle ABC$的面积为$2$，求$(c+a-b)(c+b-a)$的取值范围．
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