每日一题[889]镜面反射

在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,棱$AB$的中点为$P$.若光线从$P$出发,依次经过三个侧面$BCC_1B_1$,$DCC_1D_1$,$ADD_1A_1$反射后,落到侧面$ABB_1A_1$(不包括边界),求入射光线$PQ$与侧面$BCC_1B_1$所成角的正切值的取值范围.


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正确答案是$\left(\dfrac{3\sqrt 5}{10},\dfrac 54\right)$.

分析与解 不妨设正方体的棱长为$2$.如图,将正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$依次按对应的顺序对称,最后得到正方体$A'B'C'D'-A_1'B_1'C_1'D_1'$.分别连接$PA'$,$PB'$,$PB_1'$,$PA_1'$,与侧面$BCC_1B_1$依次交于$E,F,G,H$,则$Q$点是四边形$EFGH$内部(不包含边界)的一点,所求正切值\[\tan\theta=\dfrac{PB}{BQ}=\dfrac{1}{BQ}.\]

利用相似三角形,可得\[BF=\dfrac 45,BE=\dfrac 43,FG=\dfrac 25,EH=\dfrac 23,\]于是$BQ$满足\[\dfrac 45=BF<BQ<BH=\sqrt{BE^2+EH^2}=\dfrac{2\sqrt 5}3,\]因此所求正切值的取值范围是$\left(\dfrac{3\sqrt 5}{10},\dfrac 54\right)$.

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