已知 $a\geqslant b\geqslant c>0$，若函数 $f(x)=\ln (2ax^2-bx+c)$ 的值域为 $\mathbb R$，则 $\max\left\{\dfrac a{b+c},\dfrac b{c+a},\dfrac c{a+b}\right\}$ 的最小值为_____．
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每日一题[4007]加权和
已知 $n\geqslant 2$，$a_1,a_2,\cdots,a_{n}\geqslant 0$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i^2=S$，则 $M=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(i\cdot a_i)$ 的最大值为_____，最小值为_____（用 $S$ 和 $n$ 表示）．
每日一题[4006]逐步消元
已知 $a,b,c$ 是外接圆半径为 $R$ 的三角形三边长，则 $m=\dfrac{abc}{a^2+b^2+2c^2}$ 的最大值为_____（用 $R$ 表示）．
每日一题[4005]常见代换
已知 $\sin (\alpha+\beta)=m$，$\sin (\alpha-\beta)=n$，则 $\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}=$ _____．
每日一题[4004]逻辑
有下列命题： ① $\exists x\in A,x\in B$； ② $\exists x\in A,x\notin B$； ③ $\forall x\in A,x\in B$； ④ $\forall x\in A,x\notin B$．
$(1)$ 当 $A=\varnothing$ 时，一定是真命题的有_____，一定是假命题的有_____；
$(2)$ 当 $B=\varnothing$ 时，一定是真命题的有_____，一定是假命题的有_____．
每日一题[4003]两心占位
已知函数 $f(x)=3\sqrt 5\sin \omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x$（$\omega >0$）恰有两个对称中心在区间 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right]$ 上，且 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=f\left(\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\omega$ 的所有可能的取值之和是（ ）
A．$6$
B．$\dfrac{21}2$
C．$\dfrac{23}2$
D．$16$
每日一题[4002]极线方程应用
已知二次曲线 $\Gamma:g(x,y)=0$ 上四点 $P_1,P_2,P_3,P_4$，若直线 $P_1P_3$ 与 $P_2P_4$ 交于点 $Q(x_0,y_0)$，直线 $P_1P_2$ 的直线方程为 $f(x,y)=0$，求直线 $P_3P_4$ 的方程．
每日一题[4001]极线方程的应用
已知双曲线 $\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），$F$ 是双曲线的右焦点，$e$ 为双曲线的离心率．
1、过 $F$ 作渐近线的垂线，与双曲线和两条渐近线依次交于 $A,B,C$．
① 若 $\overrightarrow{FA}=\lambda\overrightarrow{FB}$，求 $e$；
② 若 $\overrightarrow{FB}=\mu\overrightarrow{FC}$，求 $e$．
2、若 $F$ 作渐近线的平行线，与双曲线以及双曲线的另一条渐近线交于 $D,E$，若 $\overrightarrow{FD}=t\overrightarrow{FE}$，求 $e$．
每日一题[4000]双斜率方程
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上三点 $P,A,B$，其中 $P(x_0,y_0)$，若直线 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，求直线 $AB$ 的方程．