已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=m$（$m>1$）上的两点 $A,B$，$P(0,1)$ 且 $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则 $B$ 点横坐标的最大值为_____．
每日一题[3825]余白米的试炼(8)
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 上两点 $A(-2,0),B(-4,3)$，点 $P$ 为双曲线上动点，且分别过点 $B,A$ 作平行于 $AP,BP$ 的直线交双曲线于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$．
1、求证：存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda\overrightarrow{OP}$；
2、求证：$\triangle PMN$ 的面积为定值．
每日一题[3824]余白米的试炼(7)
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左顶点为 $A$，椭圆上两点 $P,Q$ 关于 $y$ 轴对称，$O$ 为坐标原点，$AB\parallel OP$ 且 $B\ne Q$，求证：$BQ\parallel AP$．
每日一题[3823]余白米的试炼(6)
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$，过椭圆第一象限的一点 $A$ 作斜率为 $\dfrac 12,-\dfrac 12$ 的直线分别交椭圆于不同于 $A$ 的点 $M,N$，$P$ 为 $MN$ 中点，$MN,AP$ 分别交 $x$ 轴于 $H,Q$，且 $|HQ|=3$，求点 $A$ 的坐标．
每日一题[3822]余白米的试炼(5)
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 上两点 $M,N$，直线 $MN$ 的斜率为 $1$，$P,M$ 关于 $x$ 轴对称，以 $PN$ 为直径的圆与 $x$ 轴交于点 $D,E$，$|OD|\geqslant |OE|$，求 $\dfrac{|OD|}{|OE|}$．
每日一题[3821]余白米的试炼(4)
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$AB,CD$ 交于定点 $P(x_0,y_0)$，$AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $\alpha k_1k_2+\beta(k_1+k_2)+\gamma =0$，求证：$MN$ 过定点．
每日一题[3820]余白米的试炼(3)
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $A(x_1,y_1)$，过 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆于另一点 $Q$，$O$ 为坐标原点．
1、若 $P(x_0,y_0)$ 是椭圆上一点，且 $AQ\parallel OP$，求 $Q$ 点坐标（即 $A\xrightarrow{\overrightarrow{OP}} Q$）；
2、若 $P(x_0,y_0),B(x_2,y_2)$ 是椭圆上两点，且 $AQ\parallel BP$，求 $Q$ 点坐标（即 $A\xrightarrow{\overrightarrow{BP}} Q$）．
每日一题[3819]余白米的试炼(2)
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的内接三角形 $ABC$ 的外心为 $P$，$O$ 为坐标原点，直线 $AB,BC,CA,OD$ 的斜率均存在，求证：直线 $AB,BC,CA,OP$ 的斜率之积为定值．
每日一题[3818]余白米的试炼(1)
利用椭圆和双曲线的垂径定理解题．
1、椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$AB,CD$ 的斜率均为 $-\dfrac13$，$AC,BD$ 交于点 $P$，求证：直线 $OP$ 的斜率为定值．
2、双曲线 $\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}2=1$ 上四点 $P,Q,M,N$，$P(3,1),Q(-3,-1)$，$MN$ 的斜率为 $\dfrac 13$，$O$ 为坐标原点，直线 $PM,QN$ 交于点 $A$，求证：直线 $OA$ 的斜率为定值．
3、椭圆 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$ 上四点 $A,B,C,D$，$A(2,1),B(-2,-1)$，$AC,BD$ 交于点 $M$，$AD,BC$ 交于点 $N$，求证：直线 $MN$ 的斜率为定值．