已知$n$是正整数，数列$\{a_k\}$满足$a_1=\dfrac{1}{n(n+1)}$，且\[a_{k+1}=-\dfrac{1}{k+n+1}+\dfrac nk\sum_{i=1}^ka_i,\]其中$k=1,2,\cdots$．
(1) 求$a_2,a_3$；
(2) 求数列$\{a_k\}$的通项；
(3) 设$b_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\sqrt{a_k}$，求证：$\lim\limits_{n\to \infty}b_n=\ln 2$．
已知$a_0=\dfrac 12$，$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$($k=1,2,\cdots,n$)，求证：$1-\dfrac 1n<a_n<1$．
设$S=\dfrac{1}{2017}{\rm C}_{2017}^0-\dfrac{1}{2016}{\rm C}_{2016}^1+\dfrac{1}{2015}{\rm C}_{2015}^2-\cdots-\dfrac{1}{1010}{\rm C}_{1010}^{1007}+\dfrac{1}{1009}{\rm C}_{1009}^{1008}$，则$S$的值是_______．
函数$f(x)=a\sin x+b\cos x$，其中$a,b\in\mathbb N$且$a>2$，且满足$$\left\{x\mid f(x)=0\right\}=\left\{ x\mid f(f(x))=0\right\},$$则方程$\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0$在$x\in (0,30)$上的实数解个数为________．（其中$[x]$和$\{x\}$分别表示$x$的整数部分和小数部分．） 继续阅读
已知$n\in\mathbb N^*$，$f(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k^\circ$，$g(n)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin k^\circ$．求所有使得$f(n)=g(n)$的正整数$n$构成的集合．
证明：
(1) 外森比克（$Weitzenb\ddot{o}ck$）不等式，设$\triangle ABC$的三条边长分别为$a,b,c$，面积为$\Delta$，则有不等式\[a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta.\]
(2) 哈德威格尔（$Hadwiger$）不等式，设$\triangle ABC$的三条边长分别为$a,b,c$，面积为$\Delta$，则有不等式\[a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta +(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.\]
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已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=\left(\sqrt 2+1\right)^n-\left(\sqrt 2-1\right)^n$($n\in\mathbb N^*$)，则$\left[a_{2017}\right]$的个位数字是______．
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已知$a,b>0$，$a+\sqrt{b^2+8}=4$，则$\dfrac 3a+\dfrac 1b$的最小值是_______．
已知$a+b=6$，则$\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)$的最小值是_______．
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设正数$x,y$满足$xy=1$，求$m=\dfrac{x+y}{[x]\cdot[y]+[x]+[y]+1}$的取值范围．
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