函数$f(x)=a\sin x+b\cos x$，其中$a,b\in\mathbb N$且$a>2$，且满足$$\left\{x\mid f(x)=0\right\}=\left\{ x\mid f(f(x))=0\right\},$$则方程$\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0$在$x\in (0,30)$上的实数解个数为________．（其中$[x]$和$\{x\}$分别表示$x$的整数部分和小数部分．）
正确答案是$19$．
分析与解 由于方程$f(x)=0$必然有解，设$\alpha$是它的一个解，则根据题意，有\[f(f(\alpha))=f(0)=0,\]因此$b=0$．此时$f(f(x))=0$等价于\[a\sin f(x)=0,\]也即\[f(x)=k\pi,k\in\mathbb Z,\]因此\[\max\{\left|f(x)\right|\}<\pi,\]进而$a=3$．
此时方程\[\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0\]即\[\sin^2[x]+\sin^2\{x\}=1.\]当$k\leqslant x<k+1$($k\in\mathbb N$)时，该方程即\[\sin ^2(x-k)=1-\sin^2k,\]考虑到左侧函数的值域为$\left[0,\sin^21\right)$，因此当$1-\sin^2k\in \left[0,\sin^21\right)$时该方程在区间$[k,k+1)$上有一实数解．解上述关于$k$的不等式可得\[\dfrac{\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{\pi}2+1+2n\pi\]或\[\dfrac{3\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi,\]其中$n\in\mathbb Z$．
注意到每个区间长度均为$2$，且当$n=4$时，区间$$\left(\dfrac{3\pi}2-1+2n\pi,\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi\right)$$约为$(28.8,30.8)$，因此当$n=0,1,2,3,4$时，共对应$19$个$k$，因此所求的实数解的个数为$19$．