每日一题[984]正弦函数的性质

已知$n\in\mathbb N^*$,$f(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k^\circ$,$g(n)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin k^\circ$.求所有使得$f(n)=g(n)$的正整数$n$构成的集合.


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正确答案是$\{1\}\cup\{360k\mid k\in\mathbb N^*\}\cup\{360k-1\mid k\in\mathbb N^*\}.$.

分析与解 根据题意,有\[f(n)\begin{cases} =\sin 1^\circ & n=1,\\ \geqslant\sin 1^\circ,& 360\nmid n\land 360\nmid (n+1),\\ =0,& 360\mid n\lor 360\mid (n+1), \end{cases}\]而\[g(n)\begin{cases}=\sin 1^\circ, & n=1,\\ \in \left(0,\sin 1^\circ\right) ,&2\leqslant n\leqslant 179,\\ =0,& n\geqslant 180,\end{cases}\]于是所有使得$f(n)=g(n)$的正整数$n$构成的集合为$$\{1\}\cup\{360k\mid k\in\mathbb N^*\}\cup\{360k-1\mid k\in\mathbb N^*\}.$$


下面给出两道练习:

(1)若 $ S_n=\sin {\dfrac{{\mathrm \pi } }{7}}+\sin {\dfrac{2{\mathrm \pi } }{7}}+\cdots+\sin {\dfrac{n{\mathrm \pi } }{7}}\left(n\in {\mathbb{N^*}}\right) $,则在 $ S_1,S_2,\cdots ,S_{100} $ 中,正数的个数是________;

(2)设 $ a_n={\dfrac{1}{n}}\sin {\dfrac{n{\mathrm \pi} }{25}} $,$ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n $.在 $ S_1$,$S_2$,$\cdots $,$S_{100 }$ 中,正数的个数是_______.

 (1)$86$;如图,当 $n=13,14,27,28,\cdots$ 时,$S_n$ 为非正数,也就是说每 $ 14 $ 个数中出现 $ 2 $ 个非正数.

(2)$100$;

因为 $ f\left(n\right)=\sin \dfrac{n{\mathrm \pi} }{25} $ 的周期 $ T=50 $,由正弦函数性质可知,\[ a_1,a_2,\cdots,a_{24}>0,a_{25}=0,a_{26},a_{27},\cdots,a_{49}<0,a_{50}=0, \]又 $ g\left(n\right)=\dfrac{1}{n}$ 单调递减,所以\[ |a_{26}|<a_1,|a_{27}|<a_2,\cdots,|a_{49}|<a_{24} .\]从而可判断 $ S_1$,$S_2$,$\cdots $,$S_{100 }$ 全为正数.

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