每日一题[987]数列上下界估计

已知$a_0=\dfrac 12$，$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$($k=1,2,\cdots,n$)，求证：$1-\dfrac 1n<a_n<1$．

分析与证明　根据题意，有\[\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{1}{a_{k-1}+\dfrac 1n{a_{k-1}^2}}=\dfrac{1}{a_{k-1}}-\dfrac{1}{n+a_{k-1}},\]于是\[\dfrac{1}{a_{k-1}}-\dfrac{1}{a_k}=\dfrac{1}{n+a_{k-1}},\]累加可得\[\dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{n+a_0}+\dfrac{1}{n+a_1}+\cdots+\dfrac{1}{n+a_{n-1}}<1,\]于是$a_n<1$，容易证明数列 $\{a_n\}$ 单调递增，所以$$a_k<1,k=0,1,2,\cdots,n-1,$$进而\[\dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_n}>\dfrac{n}{n+1},\]于是$a_n>\dfrac {n+1}{n+2}>\dfrac{n-1}{n}$，原命题得证．

注　在本题中，估计出数列的上界后，利用数列的上界对下界进行了估计，这是数列上下界估计中常用的方法，类似的问题见每日一题[528]数列上下界的交叉估计．