每日一题[981]对称换元

已知$a+b=6$,则$\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)$的最小值是_______.


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正确答案是$144$.

分析与解 设$a=3+x$,$b=3-x$,则\[\begin{split}\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)&=\left(x^2+13+6x\right)\left(x^2+13-6x\right)\\&=x^4+26x^2+169-36x^2\\&=\left(x^2-5\right)^2+144,\end{split}\]于是所求最小值为$144$,当$x=\pm \sqrt 5 $时取得.


下面给出一道练习:

练习 已知$x_1+x_2=2$,求$x_1\cdot 2^{x_1}+x_2\cdot 2^{x_2}$的最小值.

 设$x_1=1+x$,$x_2=1-x$,则\[(1+x)\cdot 2^{1+x}+(1-x)\cdot 2^{1-x}=2\left(2^x+2^{-x}\right)+2x\left(2^x-2^{-x}\right)\geqslant 4.\]当$x=0$,即$x_1=x_2=1$时取到等号,所以所求最小值为$4$.

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每日一题[981]对称换元》有1条回应

  1. jiangshuidl说:

    最后大于等于4是怎幺来的

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