Math173

若集合$A,B,C$满足$A\cap B=\varnothing$，且$A\cup B=C$，则称$(A,B)$为$C$的一个分割．
(1) 已知集合$A_1=\left\{x\mid \tan\left(\dfrac{\pi x}2+\dfrac{\pi}4\right)=-1,x\in\mathbb R\right\}$，集合$B_1=\{x\mid \cos(\pi x)=1,x\in\mathbb R\}$，集合$C_1=\{x\mid \sin(\pi x)=0,x\in\mathbb R\}$，问$(A_1,B_1)$是否为$C_1$的一个分割？请说明理由．
(2) 设函数$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-a}{x-b}}$($a>b$)及\[g(x)=\dfrac{\sin(\lambda+\mu)x}{\sin(\lambda-\mu)x}+\dfrac{\cos(\lambda+\mu)x}{\cos(\lambda-\mu)x},\lambda,\mu\in\mathbb R,\]记$A_2=\{x \mid y =f(x)\}$，$B_2=\{ y \mid y=g(x)\}$，已知当$\lambda=5$，$\mu=4$时，$(A_2,B_2)$为$\mathbb R$的一个分割．若平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的四个顶点都在函数$h(x)={\log_2}\dfrac{x+1}{x-1}$的图象上，且$P_1$点的横坐标为$a-7$，$P_2$点的横坐标为$-\dfrac 23b$，试求平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的面积．

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设$u,v,w,x_n$($n\in\mathbb N^*$)均为实数，若$u\cdot x_n,v+|x_{n+1}|,w\cdot x_{n+2}$成等差数列($n\in\mathbb N^*$)，则称数列$\{x_n\}$具有性质$T(u,v,w)$，已知$y_n\ne 0$($n\in\mathbb N^*$)，且数列$\{y_n\}$具有性质$T(2,0,2)$，如果存在$\theta\in\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$使得$y_1=\sin\theta$，$y_2=\cos\theta$，那么在数列$\{y_n\}$的前$2017$项中，值为负数的项的个数为________．

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已知数列$\{a_n\}$满足$a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$($n\in\mathbb N$)．
(1)求证：对任意正整数$n$，均有$a_{n+1}<a_n$；
(2)求证：对任意正整数$n$，均有$a_n<\dfrac 3{4\sqrt n}$；
(3)求证：$a_0+a_1+\cdots+a_n\geqslant \sqrt{2n+4}-1$．

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已知$f(x)=ax-m$($m\in\mathbb N^*$)，$g(x)=\ln\dfrac xa$，若对任意$x\in\mathbb N^*$均有$f(x)\cdot g(x)\geqslant 0$，求实数$a$的取值范围．

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在$\triangle ABC$中，$AB=c$，$DC=kAD$，$\angle DBA=\alpha$，$\angle DBC=\beta$，则$BC=$_______．
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已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-1+\ln(x+1)$．
(1) 若函数$f(x)$在区间$(-1,+\infty)$内单调递增，求$a$的取值范围；
(2) 若$0<a\leqslant 1$，且$x>0$，求证：$f(x)>2ax$．

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平面直角坐标系中$xOy$中，$P$是不在$x$轴上的一个动点，过$P$作抛物线$y^2=4x$的两条切线，切点设为$A,B$，且直线$PO\perp AB$于$Q$，$R$为直线$AB$与$x$轴的交点．
(1) 求证：$R$是定点；
(2) 求$\dfrac{PQ}{QR}$的最小值．

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已知$a,b>0$，且$a+\dfrac 2a+3b+\dfrac 4b=10$，则$ab$的取值范围是________．

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已知$a,b>0$且$a+2b=1$，求$a^2+b^2+\dfrac{9}{125ab}$的最小值．
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已知三条平行直线$a,b,c$($b$在$a,c$之间)，点$A$在直线$a$上，求作正$\triangle ABC$，使顶点$B$在直线$b$上，顶点$C$在直线$c$上．

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