Math173

已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA,OB$ 与直线 $x=1$ 分别交于 $M,N$．

1、求直线 $OA,OB$ 的斜率之积；

2、求证：以 $MN$ 为直径的圆过定点．

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已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，$A(1,2)$ 是抛物线上一点，$B(-1,0)$ 是 $x$ 轴上一点，过 $B$ 的直线交抛物线于点 $P,Q$，交线段 $AF$ 于点 $M$，$B,P,M,Q$ 为顺次四点．

1、求证：点 $M$ 到 $PF,QF$ 的距离相等；

2、若 $\triangle PFM$ 与 $\triangle AQM$ 的面积相等，求 $P$ 点坐标．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$ 上定点 $A(2,1)$，$P,Q$ 是双曲线上两点且满足 $AP,AQ$ 的斜率互为相反数．

1、求直线 $PQ$ 的斜率；

2、若 $\tan \angle PAQ=2\sqrt 2$，求 $\triangle PAQ$ 的面积．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$，过点 $P(1,1)$ 的直线分别交双曲线的左、右两支于点 $A,B$，且 $\dfrac{|PA|\cdot |PB|}{|AB|}=\dfrac{19\sqrt{10}}{20}$，则直线 $AB$ 的斜率为_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的弦 $MN$ 的中点为 $H$，直线 $OH$ 交椭圆于 $P,Q$ 两点，$P,Q,M,N$ 四点共圆，求证：$|MN|<\sqrt{14}$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}6=1$ 上两点 $A,B$，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $P$，且 $\dfrac{1}{|PA|^2}+\dfrac{1}{|PB|^2}$ 为定值，求出点 $P$ 的坐标以及对应的定值．

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已知 $E$ 是对称轴与坐标轴方向平行或垂直的非圆二次曲线，$A,B,C,D$ 是曲线 $E$ 上的四个不同点，直线 $AC$ 与直线 $BD$ 相交且斜率均存在，求证：$A,B,C,D$ 四点共圆的充要条件是直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的斜率互为相反数．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 上的动点 $P$，则 $P$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离的最小值为_____．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$，过定点 $P(0,-2)$ 的直线交椭圆于 $A,B$，$\triangle OAB$ 的面积为 $\sqrt 2$，则 $|AB|=$_____．

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已知直角三角形 $ABC$ 中，$B$ 为直角，$AB=2$，$BC=1$，点 $P$ 在以 $A$ 为圆心半径 $r=1$ 的圆上，则 $\dfrac{PB}{PC}$ 的取值范围是_____．

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