Math173

已知双曲线 $x^2-y^2=3$，过 $P(1,1)$ 的直线与双曲线交于 $A,B$ 两点，点 $C$ 在直线 $y=x-3$ 上且直线 $AC$ 的斜率为 $-2$，求证：直线 $BC$ 过定点．

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已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，对称轴为 $x$ 轴、$y$ 轴，且过 $A(0,-2)$，$ B\left(\dfrac{3}{2},-1\right)$ 两点．

1、求 $E$ 的方程．

2、设过点 $P(1,-2)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，过 $M$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $T$，点 $H$ 满足 $\overrightarrow{M T}=\overrightarrow{T H}$．证明：直线 $H N$ 过定点．

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已知双曲线 $x^2-y^2=4$，定点 $P(4,2)$，求证：直线 $y=x+1$ 上存在点 $Q$，使得直线 $QA,QB$ 的斜率之积为定值．

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已知双曲线 $\dfrac{x^2}3-y^2=1$，$F_1,F_2$ 是双曲线的左、右焦点，$P$ 是双曲线上的动点，$PF_1,PF_2$ 分别交双曲线于不同于 $P$ 的点 $M,N$，直线 $MF_2,NF_1,PF_1,PF_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，求证：存在常数 $\mu$，使得 $\dfrac 1{k_1}+\dfrac1{k_2}=\mu\left(\dfrac{1}{k_3}+\dfrac{1}{k_4}\right)$．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}5+\dfrac{y^2}4=1$，$P$ 是椭圆上的动点，点 $A$ 在椭圆上且直线 $AP$ 过点 $M(0,1)$，点 $B$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上且直线 $BP$ 过点 $N\left(0,\dfrac12\right)$，$B,P$ 在 $y$ 轴两侧，求证：直线 $AB$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$，双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$，从左顶点 $P(-2,0)$ 出发作两条直线分别交椭圆于 $A,C$ 和 $B,D$，设 $AD,BC$ 交于点 $Q$，求证：点 $Q$ 在定直线上．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，$F_1,F_2$ 是其左、右焦点，$A,B$ 是其左、右顶点，点 $B$ 是椭圆上的动点且直线 $BN$ 与 $BM$ 的斜率之比为 $3$，求证：$MF_1$ 与 $MF_2$ 平行．

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已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$，$F_1,F_2$ 是其左、右焦点，$M$ 是双曲线上的动点，$MF_1$ 与直线 $x=\dfrac 12$ 交于点 $P$，$MF_2$ 与双曲线交于不同于 $M$ 的另一点 $N$，求证：直线 $PN$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$，$A,B$ 是其左、右顶点，$M,N$ 是椭圆上两点．

1、若 $MN$ 过定点 $P(1,0)$，求证：$AM$ 与 $BN$ 的交点 $C$ 在定直线上；

2、若 $AM,BN$ 的交点 $C$ 在定直线 $x=4$ 上，求证：直线 $MN$ 过定点；

3、若直线 $AM,AN$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，求证：直线 $MN$ 过定点．

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已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 上一点 $P$，$F_1,F_2$ 为其左、右焦点，$PF_1,PF_2$ 分别交椭圆于不同于 $P$ 点的点 $A,B$，$BF_1,AF_2$ 交于点 $Q$，求证：直线 $AB,PQ$ 的斜率之积为定值．

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