2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#18
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，离心率等于 $2$，右焦点 $F$ 到其渐近线的距离等于 $\sqrt 3$．
1、求双曲线 $C$ 的方程；
2、经过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，以 $AB$ 为直径的圆记为圆 $M$．
① 求证：圆 $M$ 恒过某个定点，并求出此定点的坐标；
② 是否存在某个定圆与圆 $M$ 相切，若存在，请求出此定圆的方程，若不存在，请说明理由．
2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#17
某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 $5$ 个除颜色外其他都相同的小球，其中 $3$ 黑球 $2$ 个红球．\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{取球结果} & 2 ~\text{个红球} & 2~\text{个黑球} &\text{红,黑球各}~ 1~\text{个}\\ \hline \text{奖金} & 300~\text{元} & 200~\text{元} & 100 元\\\hline \end{array}\]
1、消费每满 $2000$ 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 $2$ 个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望；
2、若该商场对消费不足 $2000$ 元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是 $3$ 个黑球和 $2$ 个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 $1$ 个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．设第 $i$ 个抽幸运奖顾客获得第 $1$ 份幸运礼品记为事件 $A_i$，设第 $j$ 个抽幸运奖顾客获得第 $2$ 份幸运礼品记为事件 $B_j$．
① 求 $P\left(A_1 B_3\right)$ 和 $P\left(A_2\mid B_3\right)$；
② 求第 $k$（$k\geqslant 2$）位抽幸运奖顾客刚好获得第 $2$ 份幸运礼品的概率 $P(k)$．
2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#14
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，且满足 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=\mathrm e^{\frac{\pi}6}$，$f^{\prime}(x)\geqslant\left(1-\dfrac 1{\tan x}\right) f(x)$，则 $f\left(\dfrac{\pi}3\right)$ 的最小值为 _____．
2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#11
在棱长为 $a$ 的正四面体 $ABCD$ 中，$P,Q$ 分别为棱 $AB$ 和 $CD$（包括端点）上的动点，直线 $PQ$ 与平面 $ABC,ABD$ 所成角分别为 $\alpha,\beta$，则（ ）
A．点 $Q$ 到平面 $ABC$ 和平面 $ABD$ 的距离之和是定值
B．$\sin\alpha-\sin\beta$ 的正负由点 $Q$ 位置确定，与点 $P$ 位置无关
C．$\sin\alpha+\sin\beta$ 的最大值为 $\dfrac{4\sqrt 3}3$
D．正四面体顶点在球 $O$ 的球面上，当 $CQ=\dfrac 3 4 CD$ 时，则过点 $Q$ 截球 $O$ 的截面面积最小值为 $\dfrac{3\pi a^2}{16}$
2026年1月广东深中华附四校联考高三数学试卷#8
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=\dfrac{\ln n}n-\dfrac{(-1)^n}n$，则关于 $\left\{a_n\right\}$ 说法正确的是（ ）
A．无最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．有最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
2026年1月广东佛山市高三一模数学#19
已知点 $A(2,3), B(2,1)$，双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一条渐近线方程是 $y=x$，直线 $A B$ 被 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$．
1、求 $C$ 的方程；
2、已知 $P, Q$ 是 $C$ 的右支上不同的两点，且存在实数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A Q}$．
① 若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{P D}=\lambda \overrightarrow{D Q}$，求证：点 $D$ 总在某定直线上；
② 若直线 $P B$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$（异于 $Q$），求证：直线 $Q R$ 过定点，并求出该定点的坐标．
2026年1月广东佛山市高三一模数学#18
已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{a(x+1)}{x-1}$（$a\neq 0$）．
1、讨论的 $f(x)$ 单调性；
2、若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，求 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$；
3、若 $f(x)$ 存在两个零点 $x_3,x_4$，在 $A\left(x_3,0\right),B\left(x_4,0\right)$ 处分别作曲线 $y=f(x)$ 的两条切线 $l_1,l_2$，证明：$l_1$ 与 $l_2$ 的交点在 $y$ 轴上．
2026年1月广东佛山市高三一模数学#17
某款 $\rm{AI}$（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得 $1$ 分，未射中得 $-1$ 分，当累计得分 $X$ 达到 $2$ 分或 $ -2$ 分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，$X=2$ 时获胜，$X=-2$ 时落败，已知该款 ${\rm AI}$ 机器人射门的命中率为 $\alpha$（$\dfrac 1 2\leqslant\alpha<1$），各次射门相互独立．
1、求机器人恰好射门 $4$ 次后获胜的概率；
2、$A_n$ 表示机器人射门 $n$ 次，游戏仍未结束．
① 若 $\alpha=\dfrac 1 2$，求 $P\left(A_2\mid A_1\right)$ 和 $P\left(A_{2 k+2}\mid A_{2 k+1}\right)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）；
② 若 $P\left(A_{2 k+2}\mid A_{2 k}\right)=\dfrac 4 9$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），求游戏结束时 $X$ 的数学期望．
2026年1月广东佛山市高三一模数学#14
已知 $P,Q$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上关于原点 $O$ 对称的两点，$F$ 是 $E$ 的右焦点，$PF$ 的延长线交 $C$ 于点 $R$，$\angle QFR=60^{\circ}$，$3|QF|=5|RF|$，则 $C$ 的离心率为 _____．
2026年1月广东佛山市高三一模数学#11
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，对任意正实数 $t$，函数 $y=f(x+t)-f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，则（ ）
A．$f(0)<f(2)$
B．$2 f\left(\dfrac 4 3\right)<f\left(\dfrac 2 3\right)+f(2)$
C．若 $f(1)=1,f(2026)=2026$，则 $f(10)<10$
D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{2026}f(i) <1013(f(1)+f(2026))$
