Math173

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 43$，$a_{n+1}=a_n^2+\dfrac 2{a_n}-2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求证：$1<a_{n+1}<a_n$．

2、求证：$n+\dfrac 13\leqslant a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant n+2$．

继续阅读 →

已知单位平面向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 满足 $\overrightarrow e_1\perp \overrightarrow e_2$，若对任意平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 都有\[\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\geqslant (t-2)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+t\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e_1\right)\left(\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e_2\right),\]则实数 $t$ 的最大值是（       ）

A．$\sqrt 3-1$

B．$1$

C．$\sqrt 5-1$

D．$2$

继续阅读 →

已知正实数 $a,b$ 满足 $ab+\dfrac{4}{a(a+b)}=\dfrac 4{ab}$，则 $2a+b$ 的最小值为_______．

继续阅读 →

在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边长，证明：\[a^2\left(\dfrac bc-1\right)+b^2\left(\dfrac ca-1\right)+c^2\left(\dfrac ab-1\right)\geqslant 0.\]

继续阅读 →

求证：$\dfrac{\ln^2x+3\ln x+3}{x^2}>\dfrac{3}{{\rm e}^x}$．

继续阅读 →

已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_4>0$，$a_5<0$，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $\dfrac{S_5}{S_4}$ 的取值范围是_______．

继续阅读 →

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=15$ 且满足 $(2n-5)a_{n+1}=(2n-3)a_n+4n^2-16n+15$．已知 $n,m\in\mathbb N^{\ast}$且$n\ge m$，则 $S_n-S_m$ 的最小值为_______．

继续阅读 →

函数 $f(x)=\cos x-\sin x-\cos 2x$ 的最小值是_______．

继续阅读 →

设函数 $f(x)=|x^2+a|+|x+b|$（$a,b\in\mathbb R$），当 $x\in [-2,2]$ 时，记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a,b)$，则 $M(a,b)$ 的最小值是_______．

继续阅读 →

已知点 $M(3,2)$ 到抛物线 $C:y=ax^2$（$a>0$）准线的距离为 $4$，$F$ 为抛物线的焦点，点 $N(1,1)$，点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动时，$\dfrac{|PN|-1}{|PF|}$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac{3-2\sqrt 2}8$

B．$\dfrac{2-\sqrt 2}4$

C．$\dfrac{5-2\sqrt 2}8$

D．$\dfrac{5-2\sqrt 2}4$

继续阅读 →