每日一题[1325]内切圆代换

在 $\triangle ABC$ 中,$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边长,证明:\[a^2\left(\dfrac bc-1\right)+b^2\left(\dfrac ca-1\right)+c^2\left(\dfrac ab-1\right)\geqslant 0.\]

解析    原不等式即\[\sum_{cyc}a^3b(b-c)\geqslant 0,\]设 $a=y+z$,$b=z+x$,$c=x+y$,其中 $x,y,z>0$,则原不等式即\[\sum_{cyc}(y+z)^3(z+x)(z-y)\geqslant 0,\]也即\[\sum_{cyc}\left(x^5+xy^4-2x^3y^2\right)\geqslant 0,\]由均值不等式即得,因此原不等式得证.

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